§ 6. Гомоморфизмы полугрупп, групп, колец и полей

Пусть (A, f₁ , … , f_n ) и (B, g₁ , … , g_n ) – алгебры с одинаковым числом операций, причём для любого i (1  i  n) операции f_i и g_i одной арности k_i  N  {0}. Говорят, что отображение h : A  B сохраняет операцию f_i (1  i  n), если  a₁ , … ,  A h(f_i(a₁ , … , )) = g_i(h(a₁), … , h( )). Если h : A  B сохраняет все операции f_i (1  i  n), то h называется гомоморфизмом алгебры (A, f₁ , … , f_n ) в алгебру (B, g₁ , … , g_n ). Иногда будем писать h : (A, f₁ , … , f_n )  (B, g₁ , … , g_n ).

Инъективный гомоморфизм называют мономорфизмом или вложением, сюръективный – эпиморфизмом или наложением, а биективный гомоморфизм – изоморфизмом.

Примеры: 1. ({0}, +,  )  (R , +,  ), а h: R  {0}, где  r  R h(r) = 0, будет гомоморфизмом. Действительно,  r, s  R h(r+s) = 0 = 0 + 0 = h(r) + h(s), т.е. h сохраняет операцию сложения, и  r, s  R h(rs) = 0 = 00 = h(r)h(s), т.е. h сохраняет операцию умножения. Кроме того, h – сюръ, т.е. h – эпиморфизм.

2. Для алгебр примера 1 отображение i : {0}  R , где i(0) = 0, является мономорфизмом, т.к. i – инъ и сохраняет операции: i(0+0) = 0 = 0+0 = i(0)+i(0), i(00) = 0 = 00 = = i(0)i(0).

3. Пусть h: R  R, где h(r) = . Функция h не является гомоморфизмом алгебры (R,  ) в себя, т.к. не является отображением.

4. Пусть h: R  R, где h(r) = . Функция h является гомоморфизмом алгебры (R,  ) в себя, т.к. является отображением и сохраняет операцию умножения:  r, s  R h(rs) = = =  = h(r)h(s). Этот гомоморфизм не инъ: h(1) = 1 = = h(–1), и не сюръ : Im(h) = R₊  {0}, где R₊ = {r  R | r > 0}.

5. Отображение h предыдущего примера является эпиморфизмом алгебры (R,  ) в алгебру (R₊  {0},  ).

6. Для любой алгебры (A, f₁ , … , f_n ) определён тождественный изоморфизм этой алгебры на себя: отображение  = id_A : A  A, где  a  A id_A(a) = a. Очевидно, что  сохраняет все операции:  a₁ , … ,  A (f_i(a₁ , … , )) = f_i(a₁ , … , ) = f_i((a₁), … , ( )), а кроме того, инъективно и сюръективно.

7⁰. Отображение h : R  R₊ , где  r  R h(r) = 2^r , является изоморфизмом алгебр (R , + ) и (R₊ ,  ) : это отображение би , и сохраняет операцию  r, s  R h(r+s) = 2^r+s = = 2^r2^s = h(r)h(s).

8⁰. Отображение предыдущего примера не является гомоморфизмом алгебр (R , + , 0) и (R₊ ,  , ), т.к. не сохраняет 0-арную операцию: h(0) = 2⁰ = 1  .

Общее понятие гомоморфизма алгебр приводит к понятиям гомоморфизма полугрупп, групп, колец и полей.

Пусть (A,  ) и (B,  ) – две полугруппы (или группы). Отображение h : A  B называется гомоморфизмом полугрупп (или групп), если оно сохраняет операцию, т.е. если  x, y  A h(xy) = h(x)h(y).

Пусть (K, + ,  ) и (R,  ,  ) – два кольца (или поля). Отображение h : K  R называется гомоморфизмом колец (или полей), если оно сохраняет обе операции, т.е. если

 x, y  K h(x+y) = h(x)  h(y),  x, y  K h(xy) = h(x)  h(y).

Стандартным образом определяются мономорфизмы, эпиморфизмы, изоморфизмы полугрупп, групп, колец и полей (т.е. инъ, сюръ и би гомоморфизмы соответствующих алгебр).

Примеры: 1. Отображение h: R  {0}, где  r  R h(r) = 0, будет эпиморфизмом или наложением колец h: (R, +,  )  ({0}, +,  ).

2. Отображение i : {0}  R , где i(0) = 0, является мономорфизмом или вложением колец i: ({0}, +,  )  (R, +,  ).

3. Любой гомоморфизм колец h : (K, +,  )  (R,  ,  ), очевидно, является одновременно гомоморфизмом аддитивных групп этих колец h : (K, + )  (R,  ) и гомоморфизмом полугрупп h : (K,  )  (R,  ).

4. Отображение h : R  R₊ , где  r  R h(r) = 2^r , является изоморфизмом групп h : (R , + )  (R₊ ,  ).

5. Пусть n  N. Зададим отображение h : Z  Z правилом  x  Z h(x) = nx. Это вложение групп h : (Z , + )  (Z , + ). Действительно, во-первых, h сохраняет операцию: h(x+y) = n(x+y) = nx+ny = h(x)+h(y), а во-вторых, h инъ: h(x) = h(y)  nx = ny  x = y.

6. Отображение предыдущего примера при n  1 не является гомоморфизмом колец, т.к. не сохраняет операцию умножения: h(xy) = n(xy)  (nx)(ny) = h(x)h(y).

7. Поле Q вкладывается в поле R при помощи отображения i : (Q , +,  )  (R , +,  ), где  q  Q i(q) = q  R. При этом эти поля не изоморфны. В самом деле, если бы существовал изо морфизм h : Q  R, то ввиду его сюръективности,  q  Q h(q) = и    Q h() = 1. Поскольку h сохраняет умножение и сложение, h(q²) = h(qq) = h(q)h(q) = =  = 2 = 1+1 = h()+h() = h(+) = h(2), т.е. h(q²) = h(2), и ввиду инъективности, q² = 2. Далее, h(²) = h()h() = 11 = 1 = h() и ² = , т.е.  = 1 или  = 0. Если  =1, то q² = 21 = 2 ­– противоречие, т.к. q = ±  Q. Если же  = 0, то q² = 20 = 0, q = 0 и h(q) = 0 = 0+0 = h(q)+h(q), т.е. h(q) = 0 вопреки выбору h(q) = . Таким образом, всегда получается противоречие, и изоморфизма h : Q  R не существует.

Замечание: Позже, в курсе математического анализа, будет доказано, что не существует биективного отображения h : Q  R без предположения о сохранении операций !