§ 7. Алгебраические системы
Пусть в алгебре (A, f1 , … , fn ) дополнительно к алгебраическим операциям f1 , … , fn зафиксированы предикаты P1 , … , Pm (m 0). Набор (A, f1 , … , fn , P1 , … , Pm ) называется (алгебраической) системой.
Примеры: 1. Любая алгебра является алгебраической системой, для которой m = 0.
2. (N, +, , P(x, y), Q(x)), где P(x, y) = 1 x | y, Q(x) = 1 x > 5. Это алгебраическая система с двумя бинарными алгебраическими операциями и двумя предикатами, один из которых (P) от двух аргументов, т.е. бинарный, а второй (Q) – от одного аргумента, т.е. унарный.
3. (R, +, , ) – алгебраическая система с двумя бинарными алгебраическими операциями и одним бинарным предикатом нестрогого порядка.
Если (A, f1 , … , fn , P1 , … , Pm ) – алгебраическая система, (B, f1 , … , fn ) (A, f1 , … , fn), то все предикаты P1 , … , Pm , определённые на множестве A, будут определены и на его подмножестве B. Так что можно рассматривать алгебраическую систему (B, f1 , … , fn , P1 , … , Pm ), которая называется (алгебраической) подсистемой алгебраической системы (A, f1 , … , fn , P1 , … , Pm ). В этом случае по-прежнему пишем (B, f1 , … , fn , P1 , … , Pm ) (A, f1 , … , fn , P1 , … , Pm ).
Если понятие подсистемы по сути ничем не отличается от понятия подалгебры, то понятие гомоморфизма претерпевает изменения.
Если есть две системы (A, f1 , … , fn , P1 , … , Pm ) и (B, g1 , … , gn , Q1 , … , Qm ) с одинаковым числом как алгебраических операций, так и выделенных предикатов, причём арности операций fi и gi одинаковы (1 i n), как и арности предикатов Pj и Q j , то отображение h : A B называется гомоморфизмом алгебраических систем, если оно сохраняет не только все алгебраические операции, но и все предикаты, т.е. удовлетворяет условиям:
a1 , … , A h(fi(a1 , … , )) = gi(h(a1), … , h( )) (1 i n),
a1
, … ,
A Pj(a1
, … ,
)
Qj(h(a1),
… , h(
))
(1
j
m).
Таким образом, на отображение h накладываются дополнительные ограничения по сохранению соответствующих предикатов. Понятия мономорфизма или вложения, эпиморфизма или наложения и изоморфизма алгебраических систем неизменны (они по-прежнему означают инъективность, сюръективность и биективность соответствующего гомоморфизма).
Примеры: 1. Для любой алгебраической системы (A, f1 , … , fn , P1 , … , Pm) определён тождественный изоморфизм этой системы на себя: отображение : A A, где a A (a) = a. Очевидно, что условие сохранения предикатов будет выполнено: a1 , … , A Pj(a1 , … , ) Pj((a1), … , ( )) (1 j m).
2. Алгебраические системы (Z , + , ) и (Z , + , ) изоморфны. Действительно, рассмотрим отображение h : Z Z, где a Z h(a) = –a. Оно, очевидно, будет би, сохраняет операцию: h(a+b) = –(a+b) = (–a)+(–b) = h(a)+h(b), и сохраняет предикат: a b –a –b, т.е. a b h(a) h(b).
3. Тождественное
отображение
: N
N не будет
гомоморфизмом алгебраических систем
(N, +, < ) и
(N, +, > ).
В самом деле,
не сохраняет предикат: a
< b
a > b.
4. Алгебраические системы (N, +, < ) и (N, +, > ) не изоморфны. Если бы существовал изоморфизм h : N N то a, b N a < b h(a) > h(b). Выберем такое a, что h(a) = 1 (это можно сделать, т.к. h – сюръ). Тогда 1 = h(a) > h(b) –ложно при любом b N, значит и a < b должно быть ложно при любом b N, но это не так, например, для b = a+1. Полученное противоречие доказывает отсутствие изоморфизма.
Упражнения: 1. Изоморфны ли системы (Q , +, <) и (Q , +, >) ?
2. Изоморфны ли системы (Q , +, ) и (Q , +, <) ?
3. Изоморфны ли системы (Z , +, ) и (N , +, ) ?