§ 5. Простейшие свойства полугрупп, групп, колец и полей

1⁰. В любой полугруппе (S,  ) произведение x₁x₂…x_n , где n  N, x₁ , … , x_n  S, не зависит от расстановки скобок.

Доказательство. Индукция по n. База индукции есть, т.к. произведения x₁ (n = 1), x₁x₂ (n = 2) и x₁x₂x₃ (n = 3) не зависят от расстановки скобок. Для n = 3 это следует из свойства ассоциативности, выполненного в полугруппе: (x₁x₂)x₃ = x₁(x₂x₃).

Предположим, что утверждение доказано для n = 1, … , k  N, т.е. любое произведение x₁x₂…x_n при n  k (k 3) не зависит от расстановки скобок.

Докажем, что не зависит от расстановки скобок и произведение x₁…x_n при n = k+1: убедимся, что всегда это произведение равно произведению x₁(x₂(x₃(x₄…(x_n–1x_n)…))) с правонормированной расстановкой скобок. Разберём два случая.

а) x₁(x₂…x_n): скобка отщепляет первый сомножитель. По предположению индукции произведение x₂…x_n не зависит от расстановки скобок, а значит, равно x₂(x₃(x₄…(x_n–1x_n)…)) – правонормированному произведению. Поэтому x₁(x₂…x_n) = = x₁(x₂(x₃(x₄…(x_n–1x_n)…))) – правонормированное произведение.

б) (x₁…x_i)(x_i+1…x_n): скобка расщепляет произведение на два, причём 1 < i < n. По предположению индукции x₁…x_i не зависит от расстановки скобок, т.е. оно равно x₁(x₂…(x_i–1x_i)…) – правонормированному произведению. Тогда (x₁…x_i)(x_i+1…x_n) = = (x₁(x₂…(x_i–1x_i)…))(x_i+1…x_n) x₁((x₂…(x_i–1x_i)…)(x_i+1…x_n)), и мы пришли к случаю а).

Таким образом, во всех случаях произведение равно правонормированному независимо от исходной расстановки скобок.

2⁰. Не зависят от расстановки скобок произведения g₁g₂…g_n элементов группы (G,  ), а также и результаты действий k₁+k₂+…+k_n , k₁k₂…k_n в произвольном кольце или поле (K, +,  ).

Это следует из 1⁰ : (G,  ), (K, +) и (K,  ) – полугруппы.

3⁰. В моноиде (S,  ) единица единственна:  ! e  S  s  S se = s = es.

В самом деле, если e₁ и e₂ – единицы моноида (S,  ), то  s  S se₁ = s = e₁s и  s  G se₂ = s = e₂s . В частности, e₁ = e₁e₂ = e₂ .

4⁰. Единица поля и кольца с единицей единственна.

Следует из 3⁰ : (K,  ) – моноид.

5⁰. В моноиде (S,  ) обратный элемент к любому обратимому элементу s  S определён однозначно:  ! s ^–1  S ss ^–1 = e = s ^–1s .

Действительно, если s ^–1 и s – два обратных к обратимому элементу s  S, то ss ^–1 = = e = s ^–1s и ss = e = ss. В частности, s = se = s(ss ^–1) = (ss)s ^–1 = es ^–1 = s ^–1.

6⁰. Однозначно определены обратные элементы к элементам любой группы, противоположные элементы к любым элементам кольца, обратные элементы обратимых элементов кольца и обратные элементы ненулевых элементов любого поля.

Следует из 5⁰.

7⁰. В любой группе (G,  ) верно  g , h  G (gh) ^–1 = h ^–1g ^–1.

Действительно покажем, что h ^–1g ^–1 удовлетворяет свойству обратного элемента для gh , а значит (по 6⁰) совпадает с ним. Проверка проста: (h ^–1g ^–1)(gh) = h ^–1(g ^–1g)h = = h ^–1eh = h ^–1h = e. Второе равенство (gh)(h ^–1g ^–1) = e проверьте самостоятельно.

8⁰. В любой группе (G,  ) верно  g₁ , … , g_n  G (g₁…g_n) ^–1 = g_n ^–1…g₁ ^–1.

Проведите индукцию по n с базой 7⁰.

9⁰. В любом кольце (K, +,  ) верно  a₁ , … , a_n  K –(a₁+…+a_n) = (–a₁)+…+(–a_n). В любом поле (F, +, ) верно  a₁ , … , a_n  F \ {0} (a₁…a_n) ^–1 = a_n ^–1…a₁ ^–1.

Следует из 8⁰ : (K, +) и (F \ {0},  ) – группы.

10⁰. Для любого обратимого элемента s моноида (S,  ) верно (s ^–1) ^–1 = s.

Действительно, если s ^–1 = t, то st = e = ts, или ts = e = st, т.е. s = t ^–1 = (s ^–1) ^–1.

11⁰. Свойство (a ^–1) ^–1 = a верно для любого элемента группы (G,  ) и для любого ненулевого элемента поля (F, +,  ). Для любого элемента a  K кольца (K, +,  ) выполнено –(–a) = a.

Это следует из 10⁰ : (G,  ), (F \ {0}, ), (K, +) – группы.

12⁰. В любой группе (G,  ) выполнены следующие законы сокращения:

 a, b, c  G ab = ac  b = c,

 a, b, c  G ac = bc  a = b.

В самом деле, если, например, ab = ac, то умножая на a ^–1 слева, получим b = eb = = (a ^–1a)b = a ^–1(ab) = a ^–1(ac) = (a ^–1a)c = ec = c.

13⁰. Законы сокращения выполнены в аддитивной группе любого кольца (K, +,  ):  a, b, c  K a+b = a+c  b = c, и в мультипликативной группе поля (F, +,  ):  a, b, c  K ab = ac  b = c.

Следует отметить, что полугруппа (K,  ) кольца (K, +,  ) может и не удовлетворять свойствам сокращения. С такими аномалиями мы встретимся позже.

14⁰. В любой группе (G,  ) уравнение ax = b имеет единственное решение x = a ^–1b, а уравнение ya = b – единственное решение y = ba ^–1.

Действительно, для уравнения ax = b формула x = a ^–1b даёт решение: ax = aa ^–1b = eb = b. С другой стороны, если x – любое решение рассматриваемого уравнения, то умножая уравнение на a ^–1 слева, получим: x = a ^–1ax = a ^–1b, т.е. другого решения быть не может. Второе уравнение исследуйте самостоятельно.

15⁰. В любом кольце (K, +,  ) однозначно разрешимы уравнения a+x =b и y+a = b: x = b+(–a) = y. В любом поле (F, +,  ) однозначно разрешимы уравнения ax = b и xa = b (a  0): x = a ^–1b = y.

Для элементов a, b произвольного кольца (K, +, ) положим a–b = b+(–a). Таким образом, на K определена новая операция вычитания, являющаяся производной операцией от сложения.

16⁰. В любом кольце (K, +,  ) верно  a  K a0 = 0 = 0a.

Действительно, a0 +0 = a0 = a(0+0) = a0+a0, т.е. a0 +0 = a0+a0. Сокращая на a0, получим 0 = a0. Второе равенство докажите самостоятельно.

17⁰. В любом кольце (K, +,  ) верно  a, b  K (–a)b = –(ab) = a(–b).

В самом деле, ab+(–a)b = (a+(–a))b = 0b = 0, т.е. (–a)b – противоположный элемент к ab : (–a)b = –(ab). Второе равенство доказывается аналогично.

18⁰. В любом кольце (K, +,  ) верно  a, b  K (–a)(–b) = ab.

Действительно, по 17⁰ (–a)(–b) = a(–(–b)) = ab.

19⁰. В любом кольце (K, +,  ) верно

 a, b, c  K a(b–c) = ab–ac,  a, b, c  K (a–b)c = ac–bc.

В самом деле, по свойству 17⁰ a(b–c) = a(b+(–c)) = ab+a(–c) = ab+(–ac) =ab–ac. Второе равенство докажите самостоятельно.

20⁰. В любом кольце (K, +,  ) верны обобщённые законы дистрибутивности:

 a₁ , … , a_n , b  K (a₁±a₂± … ± a_n )b = a₁b±a₂b± … ±a_nb ,

 a, b₁ , … , b_n  K a(b₁±b₂± … ±b_n ) = ab₁±ab₂± … ±ab_n

(знаки расставлены произвольно).

Докажем первый закон, проведя индукцию по n  N. Базу индукции при n = 2 обеспечивают свойства дистрибутивности и доказанное свойство 19⁰.

Предположим, что равенство доказано для n = 2, … , k  N, и докажем его для n = k+1: (a₁±a₂± … ± a_k±a_n)b = ((a₁±a₂± … ± a_k)+(±a_n))b = (a₁±a₂± … ± a_k)b+(±a_n)b = (a₁b± … ±a_kb)± ±a_nb = a₁b±a₂b± … ±a_nb.

Изучим теперь некоторые свойства полей. Если (F, +,  ) – поле, a, b  F и b  0, то обозначим = ab ^–1. Оказывается с такими дробями можно работать привычным образом.

21⁰. В поле (F, +,  ) верно  a, c  F  b, d  F \ {0} =  ad = bc.

Действительно, =  ab ^–1 = cd ^–1 ab ^–1 = d ^–1c dab ^–1b = dd ^–1cb   da = cb ad = bc.

22⁰. В поле (F, +,  ) верно  a, c  F  b, d  F \ {0} ± = .

В самом деле, ± = ab ^–1± cd ^–1 = add ^–1b ^–1±cbb ^–1d ^–1 (ad±bc)d ^–1b ^–1 (ad±bc)(bd) ^–1 .

23⁰. В поле (F, +,  ) верно  a, c  F  b, d  F \ {0}  = .

Действительно,  = (ab ^–1)(cd ^–1) acd ^–1b ^–1 (ac)(bd) ^–1 = .

24⁰. В поле (F, +,  ) верно  a, b  F \ {0} = .

В самом деле, = (ab ^–1) ^–1 (b ^–1) ^–1a ^–1 ba ^–1 = .

25⁰. В поле (F, +,  ) верно  a, b  F \ {0} ab  0.

Действительно, если ab = 0, то умножая на a ^–1, получим b = 1b = a ^–1ab = a ^–10 = 0 – противоречие.