§ 4. Подполугруппы, подгруппы, подкольца и подполя
Любая подалгебра (B, ) (A, ) полугруппы (A, ) называется подполугруппой этой полугруппы.
Примеры: 1. Пусть 2N = {2n N | n N} = {2, 4, 6, 8, 10, …} – множество всех чётных чисел. Тогда (2N, +) – подполугруппа в (N, +), т.к. сумма двух чётных чисел является чётным числом.
2. (2N, ) – подполугруппа в (N, ), т.к. произведение двух чётных чисел является чётным числом. Нужно отметить, что хотя (N, ) – полугруппа с единицей 1, полугруппа (2N, ) не имеет единицы: если e – единица в 2N, то e – чётно и 2e = 2, т.е. e = 1 – противоречие.
3. (N, +) (Z, +) (Q , +) (R , +) – цепочка подполугрупп.
Любая подполугруппа сама является полугруппой. Действительно, пусть (B, ) (A, ). Нужно проверить, что выполнено свойство ассоциативности для элементов из B:
(А ): a, b, c B (ab)c = a(bc). Это следует из того, что ассоциативность выполнена в А, т.е. a, b, c А (ab)c = a(bc), а в частности, это верно и для a, b, c B A.
Эти рассуждения можно обобщить: если на множестве А выполнено тождество a1 , … , an A f(a1 , … , an ) = g(a1 , … , an ), то это тождество выполнено и для любого подмножества B A, т.е. b1 , … , bn B f(b1 , … , bn ) = g(b1 , … , bn ). Этот принцип будем называть принципом сужения тождества и будем использовать далее в различных ситуациях.
Если (G, ) – группа, а (H, ) – её подалгебра, сама являющаяся группой относительно операции , то (H, ) называется подгруппой группы (G, ). В этом случае будем писать (H, ) (G, ) или, если ясно о какой именно операции на G и H идёт речь, H G.
Примеры: 1. (N, +) – подполугруппа в группе (Z, +), но не группа (?!). Этот пример показывает, что не всякая подалгебра в группе является подгруппой.
2. (Z, +) (Q , +) (R , +) – цепочка подгрупп.
3. ({–1, 1}, ) (Q \ {0}, ) (R \ {0}, ) – цепочка подгрупп.
4. Если (С, ) (B, ), а (B, ) (A, ), то (С, ) (A, ). Действительно, как отмечалось выше, (С, ) – подалгебра в (A, ), и она сама является группой, т.к. (С, ) – подгруппа в (B, ). Таким образом, все условия из определения подгруппы выполнены.
5. Пусть n Z и nZ = {nx Z | x Z}. Тогда (nZ, +) (Z, +).
Во-первых, (nZ, +) (Z, +): если nx, ny nZ, то nx + ny = n(x+y) nZ.
Во вторых, (nZ, +) – группа. Действительно, ассоциативность выполнена по принципу сужения тождества (в (Z, +) ассоциативность выполнена, а nZ Z). Нейтральным элементом будет 0, а противоположным к nx nZ будет n(–x) nZ.
Если (K, +, ) – кольцо, (R, +, ) – его подалгебра, сама являющаяся кольцом относительно операций +, , то (R, +, ) называется подкольцом кольца (K, +, ). В этом случае будем писать (R, +, ) (K, +, ) или, если ясно о каких именно операциях +, на K и R идёт речь, R K.
Примеры: 1. (Z, +, ) (Q , +, ) (R , +, ) – цепочка подколец.
2. (N, +, ) (Z, +, ), но (N, +, ) – не подкольцо в (Z, +, ), т.к. (N, +, ) – не кольцо. Этот пример показывает, что не всякая подалгебра в кольце является подкольцом.
3. Если (S, +, ) (R, +, ), а (R, +, ) (K, +, ), то (S, +, ) (K, +, ). Докажите самостоятельно.
Если (F, +, ) – поле, (P, +, ) – его подалгебра, сама являющаяся полем относительно операций +, , то (P, +, ) называется подполем поля (F, +, ).
Примеры: 1. (Q , +, ) (R , +, ) – цепочка подполей.
2. (Z, +, ) (Q , +, ), но (Z, +, ) – не подполе в (Q , +, ), т.к. (Z, +, ) – не поле. Этот пример показывает, что не всякая подалгебра в поле является подполем.
3. Если (S, +, ) – подполе в поле (P, +, ), а (P, +, ) – подполе в поле (F, +, ), то (S, +, ) – подполе в поле (F, +, ). Докажите самостоятельно.
4. Любое подполе
(P, +,
) поля (Q
, +,
) совпадает со всем полем (Q
, +,
). Действительно, поле P
содержит 1
Q . Ввиду
замкнутости P
относительно сложения,
n
N n
=
P. Далее, (P,
+) – абелева группа, так что
n
N –n
P. Таким образом,
Z
P. Кроме того, по
условию обратимости ненулевых элементов
поля, получаем
n
N n
–1 =
P.
Поэтому m
Z
n
N
= m
P ввиду
замкнутости P
относительно умножения.
5. В поле действительных чисел (R , +, ) подполей много. Докажем, например, что множество
Q[ ] = {+ R | , Q} R
замкнуто относительно сложения и умножения, и (Q[ ], +, ) – подполе в (R , +, ).
Действительно, замкнутость относительно сложения и умножения множества Q[ ] следует из равенств (+ )+(+ ) = (+)+(+) , (+ )(+ ) = + + + +2 = (+2)+(+) . Таким образом, Q[ ] R .
Остаётся проверить, что (Q[ ], +, ) – поле. Для этого нужно проверять многочисленные свойства поля. Некоторые из них имеют вид тождеств: (A+), (K+), (A), (K ), (D+ ) и следуют из принципа сужения тождества (все они справедливы в R). Проверим остальные.
(Н+): 0 = 0+0 Q[ ] x Q[ ] 0+x = x = x+0. Ясно, что 0 Q[ ], а тождество x Q[ ] 0+x = x = x+0 выполнено по принципу сужения тождества (оно справедливо в R).
(O+): x = + Q[ ] –x = (–)+(–) Q[ ] x+(–x) = 0 = (–x)+x. То, что –x = (–)+(–) Q[ ] очевидно, а равенство x+(–x) = 0 = (–x)+x выполнено в R, а тем более в Q[ ].
(Н ): 1 = 1+0 Q[ ] x Q[ ] 1x = x = x1. Ясно, что 1 Q[ ], а тождество x Q[ ] 1x = x = x1 выполнено по принципу сужения тождества (оно справедливо в R).
(O
): x
= +
Q[
]
\ {0} y
Q[
]
xy
= 1 = yx.
Ясно, что y =
= =
=
=
+
Q[
].
(10) очевидно.
Итак, (Q[ ], +, ) – подполе в (R , +, ).
Упражнения: 1.
Докажите, что (Q[
],
+, ) – подполе
в (R , +,
), где n
N.
2. Будет ли
Q[
,
]
= {+
+
R |
,
Q}
R подкольцом
в R ?
3. Будет ли Q[ , ] = {+ + R | , , Q} R подполем в R ?
4. Докажите,
что Q[
,
,
]
= {+
+
+
R |
,
,
,
Q} подполе
в R .