3.3. Похідна складної функції.

Нехай дана складна функція y=f(х), тобто така, що її можна представити у вигляді:

y=F(u), де u=(х)y=F[(х)]

(3.9)

u називається проміжним аргументом.

Теорема.Якщо функція u=(х) має у деякій точці х похідну , а функція y=F(u) має при відповідному значенні u похідну , те складна функція y=F [(х)] у точці х також має похідну, що дорівнює

(3.10)

де замість uмає бути підставлений вираз u=(х). Коротко: похідна складної функції дорівнює добутку похідної даної функції по проміжному аргументу u на похідну проміжного аргумента по х.

3.4. Похідна логарифмічної функції. Похідні тригонометричних функцій.

Теорема 1. Похідна від функції log_ax дорівнює , тобто якщо y=log_ax, то

(3.11)

Теорема 2. Похідна від sinx є cosx, тобто якщо y=sinx, то

y=cosx.

(3.12)

Доведення.y+y=sin(x+x); тоді

y=sin(x+x)—sinx= ,



Теорема 3. Похідна від cosx є – sinx, тобто якщо y=cosx, то

y= – sinx.

(3.13)

Теорема 4. Похідна від функції tgх дорівнює , тобто якщо y=tgх, то

(3.14)

Доведення. Оскільки , то 

(tgx)=1+tg²x.

Теорема 5. Похідна від функції ctgх дорівнює , тобто якщо y=ctgх, то

(3.15)

(ctgx)= —(1+ctg²x).

3.5. Похідна оберненої, показникової і оберненої тригонометричної функції. Похідна логарифмічної і степеневої функції.

Теорема 1. Нехай функция f(х) в деякому околі точки х₀ зростає (чи спадає) і є неперервною. Нехай, крім того, функція y=f(х) має похідну f(х₀), відмінну від нуля. Тоді обернена функція х=f ^-1(y) визначена в деякому околі відповідної точки y₀=f(х₀) і має похідну, рівну

(3.16)

Доведення. Зауважимо, що для функції y=f(х) існує обернена функція х=f ^-1(y), визначена в деякому околі точки y₀=f(х₀) і неперервна в цьому околі. Надамо аргументу y цієї оберненої функції в точці y₀ довільного приростуy, відмінного від нуля.

Цьому приросту відповідає приріст хоберненої функції х=f ^-1(y), причому в силу зростання (спадання) функції х0. Таким чином, ми маємо право написати наступну тотожність:

(3.17)

Н ехай тепер у цьому виразі y0, тоді в силу неперервності оберненої функції в точці y₀ і відповідно різницевій формі умови неперервності і х0. Але при х0 знаменник дробу в правій частині, за означенням похідної, має граничне значення f(x₀)0. Тоді права частина уграниці буде 1/f(х₀). Але тоді і ліва частина при y0 має граничне значення, яке рівне {f ^-1(y₀)}. Отже ми отримали в точці y₀ для її похідної співвідношення .

Геометричний зміст. Графік функції y=f(х), точці х₀ відповідає на графіку точка М, тоді f(х₀)=tg, а похідна {f^-1(y₀)}=tg, так як+=/2, то .