3.6.1. Похідна функції, заданої параметрично.

Нехай функція y від х задана параметричними рівняннями:

x=(t), y=(t), t0 t T.

(3.28)

Припустимо, що ці функції мають похідні і, що функція x=(t) має оберненуt=(х), що також має похідну. Тоді, визначену параметричними рівняннями функцію y=f(x) можна розглядати як складну функцію y=(t), t=(х), де t– проміжний аргумент. Тоді, за правилом складної функції

(3.29)

На основі теореми про похідну оберненої функції . Підставляючи, одержимо

або .

(3.30)

Введена формула дає можливість знаходити похідну функції, заданої параметрично, не знаходячи виразу безпосередньої залежності y від х.

З найти кутовий коефіцієнт дотичної до лінії, заданої

у точці 0t2.

.

3.7. Диференціал.

3.7.1. Означення диференціала. Формули і правила диференціювання. Використання диференціала для наближених обчислень. Основні теореми диференціального числення. Похідні і диференціали вищих порядків.

I. Диференціал функції.

Означення.Функція f(х)називається диференційовною у точціх, якщо її прирістy у цій точці може бути представлений у вигляді:

y=Ax+(x),

(3.31)

де А не залежить від х, але в загальному залежить від х, а(x)=0(x). Тоді лінійна функція Ax називається диференціалом функції f(х₀)і позначається df(х₀)або dy, тоді

y=dy+0x при x0 dy= Ax.

(3.32)

y =x³, y=(x+x)³–x³=3x²x+3x(x)²+(x)³,при х0 одержимо dy=3x²dx.

Теорема.Для того, щоб функція була диференційовна в деякій точці х₀, необхідно і достатньо, щоб вона мала в цій точці похідну, при цьому

dy=f(x)dx.

(3.33)

II. Формули і правила обчислення диференціалів.

Ми визначили, що диференціал dy функції y=f(х) завжди дорівнює похідній цієї функції f(x), помноженої на диференціал аргументаdх. У такий спосіб таблиця похідних, виконана нами раніше, дає таблицю диференціалів:

1.	d(x)=x–1dx	8.
2.		9.
3.	d(ax)=axlnadx	10.
4.	d(sinx)=cosxdx	11.
5.	d(cosx)= –sinxdx	12.	d(u v)=du dv
6.		13.	d(uv)=vdu+udv
7.		14.

III. Використання диференціала для наближених обчислень.

Хоча диференціал dy функції y=f(х) не дорівнює y цієї функції, але з точністю до нескінченно малої більш високого порядку х справедлива наближена рівність:

ydy.

(3.34)

Відносна величина стає як завгодно малою при х0. Формула (3.34) дозволяє приблизно замінити приріст y функції f(х) її диференціалом dy. Ми можемо додати наближеній рівності (3.34) наступний вигляд:

f (x+x) – f (x)=f(x)x або f (x+x) f (x)+f(x)x.

(3.35)

Тоді по формулі (3.35) функція f(х), для значень аргументу близьких до х (тобто для малих х) приблизно заміняється лінійною функцією.

Зокрема, за допомогою цього може бути отриманий ряд вже відомих наближених формул:

1.		3.	ex1+x
2.	sinxx : x0	4.	ln(1+x) x