II. Екстремум функції.

Означення.Говорять, що f(х)має min у точці с, якщо f(с)<f(х)у всіх точках, що лежать по обох сторонах від точки с у достатній близькості від неї. Говорять, що f(х)має max у точці с, якщо f(с)>f(х)у всіх точках, що лежать по обох сторонах від точки с у достатній близькості від неї. Максимум і мінімум поєднуються поняттям екстремум.

Необхідна ознака екстремума. Для того, щоб функція f(х) мала екстремум у точці с, необхідно щоб f(х) оберталася в нуль або , або зовсім не існувала, але ця ознака не є достатньою.

1-ша достатня ознака наявності й відсутності екстремума.

Теорема 1. Якщо в деякому околі (a,b) точки х₀f(x)>0 ліворуч від точки х₀іf(x)<0 праворуч від х₀, то функція f(х) має max.

Якщо ж у деякому околі (a,b) точки х₀f(x)<0 ліворуч іf(x)>0 праворуч, то f(х) має min.

Таким чином, для того щоб неперервна функція в точці х₀ мала екстремум, необхідно, щоб знак похідної в цій точці змінився на протилежний, у самій же точці вона може бути рівна 0,  або не існувати.

2-га достатня ознака екстремума.

Якщо функція f(х) у критичній точці с диференційовна двічі, то можна скористатися наступною теоремою:

Теорема. Нехай у точці сf(х) функції f(х) обертається в нуль:f (с) =0.Якщо при цьому f(с) >0, то в точці сf(х)min, якщо при f(с) <0, то в точці cf(х)max.

Практичні правила для знаходження всіх екстремумів функції f(х)в [a,b].

Функція повинна бути неперервною в цьому проміжку [a,b], число критичних точок повинно бути обмежене, тоді для відшукання всіх max й min функції в [a,b]:

1. Знаходимо всі точки проміжку (a,b), де f(х) =0,  або не існує. Якщо їх немає, то немає і екстремумів, якщо вони є, нумеруємо їх у порядку зростання: a<x₁<x₂<…<x_n<b... .

2. У всіх інших точках інтервалу (a,b) існує кінцева похідна f(х)0. При цьому, якщо в яких-небудь 2-х точках kіlf(k) і f(l) є протилежні знаки, то між цими точками повинна щонайменше лежати одна критична точка. Тоді усередині кожної з ділянок (a,x₁), (x₁,x₂), …, (x_n–1, x_n), (x,k) похідна f(х) зберігає незмінний знак. Якщо f(х)>0, то функція на цій ділянці зростає, якщо f(х)<0 – то спадає.

3. Встановлюємо наявність екстремума, або відсутність, у кожній із критичних точок х₁, х₂, …, х_n на підставі вище викладеного.

Зауваження 1.З цього слідує, що точки maxіmin чергуються один з одним і що вони розбивають проміжок (a,b) на часткові проміжки, у кожному з яких функція f(х) або зростає або спадає чергуючись.

Зауваження 2. Якщо функція f(х) монотонна в деякому проміжку (m,n), то при будь-якому подовженні цього проміжку втрачає монотонності (або зовсім втрачає зміст), то говорять, що (m,n) є проміжокмонотонності функції f(х). Таким чином, точки екстремума функції f(х), заданої на (a,b), розбивають його на проміжки монотонності функції f(х).

Зауваження 3. У процесі відшукання екстремумів корисно заносити результати дослідження в таблицю.

III. Інтервали опуклості й ввігнутості. Точки перегину. А. Характер опуклості.

Означення. Говорять, що дуга АВ функції y=f(х) увігнута угору (угнута), якщо всі точки цієї дуги лежать вище будь-якій її дотичній МТ, і ввігнута униз (опукла) СD, якщо всі точки лежать нижче будь-якої дотичної.

Рис.3.4.

Теорема.Для того, щоб дуга АВ лінії y=f(х) була ввігнута угору (униз), необхідно і достатньо, щоб похідна f(х) у відповідному проміжку зростала (спадала).

Рис.3.5.

Доведення. Необхідність. Нехай дана дуга АВ, увігнута угору. Візьмемо в проміжку (a,b) дві довільні точки х₁ і х₂. Проведемо М₁Т₁ і М₂Т₂ і М₁Q і М₂ вище М₁, QM₂>QN:

QM₂=f(x₂)–f(x₁) : QN=M₁Q =M₁Q f(x₁)=(x₂–x₁) f(x₁);

але f(x₂)–f(x₁)>(x₂–x₁)f(x₁) : (x₂–x₁)

,

тобто кутовий коефіцієнт М₁М₂ більше кутового коефіцієнта дотичної М₁Т₁.

Тому що точки взяті довільно, те й х₁ і х₂ можна поміняти місцями:

f(x₁)–f(x₂)>(x₁–x₂)f(x₂) : (x₁–x₂) [але (x₁–x₂)<0],

то одержимо:

або ,

тобто f(x₂) > f(x₁). Тому що точки взяті довільно, то остання нерівність означає, що похідна f(х) зростає в проміжку (a,b). Аналогічно доводиться, що якщо дуга АВ увігнута вниз, то похідна f(х) убуває в (a,b).

Достатність.Нехай похідна f(х) зростає в проміжку (a,b), і нехай х₁ і х₂ дві довільно взяті точки цього проміжку. Потрібно довести, що точкаМ₂(х₂,y₂) лежить вище дотичної М₁Т₁ або довести нерівність:

QM₂>QN або QM₂–QN>0,

але QM₂–QN=[f(x₂)–f(x₁)]–(x₂–x₁)f(x₁).

Застосуємо до останньої різниці [f(x₂)–f(x₁)] формули кінцевих приростів, с – точка між х₁ і х₂:

f(x₂)–f(x₁)= (x₂–x₁)f(x₁),

тоді QM₂–QN=(x₂–x₁)[ f(c)– f(x₁)].

За умовою f(х) зростає, значить f(c)– f(x) має той же знак, що й (с–х₁), а це значить, що такий же знак й (х₂–х₁), тобто QM₂–QN>0, що й було потрібно довести.

Зауваження. Якщо у внутрішніх точках проміжку (a,b) друга похідна f(х)>0, то відповідна дуга АВ лінії f(х) увігнута угору, якщо f(х)<0 – то дуга АВ увігнута вниз.