3.7.2. Розкриття невизначеностей. Формула Тейлора.

І. Невизначеність виду 0/0.

Теорема 1(правило Лопіталя)(Гійом Лопіталь (1661–1704) – французький математик, автор першого друкованого підручника по диференціальному численню). Нехай дві функції f(х) і (х) визначені й диференційовні всюди в деякому околі точки а, за винятком самої точки а. І нехай

(3.39)

і (x)0 у зазначеному вище околі точки а. Тоді, якщо існує (скінченне або нескінченне) граничне значення , то існує й граничне значення і справедлива формула:

=

(3.40)

і, можна далі: .

Ця теорема вірна й при х.

ІІ. Невизначеність виду /.

Будемо говорити, що відношення 2-х функцій являє собою при ха невизначеність виду /, якщо:

(3.41)

Для розкриття цієї невизначеності, тобто для обчислення , справедливе твердження: якщо у формулюванні теореми 1 замінити вимоги на умову (5.41), то теорема виявиться справедливою.

ІІІ. Розкриття невизначеностей інших видів.

Крім вивчених вище невизначеностей виду 0/0 й /, часто зустрічаються інші види: 0, , 1^, 0⁰, ⁰ і т.д. Всі ці невизначеності необхідно звести до виду, вивченому нами, тобто до 0/0 або / шляхом алгебраїчного перетворення.

IV. Формула і теорема Тейлора (Тейлор Брук (1685–1731) – англійський математик. Знайшов формулу для розкладання функцій у статечні ряди).

Ця формула є однією з основних формул математичного аналізу й має численні додатки як в аналізі, так й у складних дисциплінах.

Теорема Тейлора. Нехай функція f(х) має в деякому околі точки а похідну порядку (n+1), де n – будь-який фіксований номер. Нехай далі х – будь-яке значення аргумента із зазначеного околу, р – довільне додатне число. Тоді, між точками аіх знайдеться точка c така, що справедлива формула:

(3.42)

де

(3.43)

Формула (5.42) називається формулою Тейлора (із центром у точці а), а (3.43) називається залишковим членом; він може бути записаний й в іншому вигляді. Прийнято називати залишковий член, записаний у вигляді (5.43), залишковим членом у загальній формі або формі Шлемільха-Роша.

Формула Тейлора в центром у точці а=0 називається формулою Маклорена (Колін Маклорен (1698–1746) – шотландський математик, праці по математичному аналізу, теорії кривих, механіці).

3.7.3. Дослідження функції однієї змінної за допомогою першої й другої похідних.

I. Ознаки сталості зростання і спадання функції.

Теорема 1. Якщо у всіх точках проміжку a<x<b похідна f(х) = 0, то функція f (х) зберігає в цьому проміжку постійне значення, тобто є відрізок горизонтальної прямої.

Теорема 2. Нехай функція f(х)– неперервна в проміжку axb. Якщо у всіх внутрішніх його точках f(х)>0, то функція f(х) у даному проміжку зростає.

Теорема 3. Нехай функція f(х)– неперервна на (a,b), axb. Якщо у всіх точках, внутрішніх f(х)<0, то функція f(х) у даному проміжку спадає.

Умови теорем 1, 2, 3 є достатніми, а необхідними і умови 1.