Б. Точки перегину.

Означення.Якщо точка С лінії АВ, де ця лінія має дотичну СТ, служить границею двох дуг АС і СВ, звернених увігнутістю в протилежні сторони, то точка С називається точкою перегину лінії АВ.

Рис.3.6.

Зауваження 1. Точка В, де лінія АCBD не має двосторонню дотичну, не вважається точкою перегину, хоча вона й служить границею дуг СВ й BD, увігнутих в протилежні сторони.

Зауваження 2. Дотична СТ, проведена через точку перегину, перетинає лінію АВ, тому що дуги АС й АВ звернені увігнутістю в різні сторони, то одна з них повинна лежати вище дотичної, інша нижче.

Необхідна ознака точки перегину.

Для того, щоб у точці С лінія f(х) мала перегин, необхідно, щоб у відповідній точці x=c друга похідна f(х) =0 або  або не існувала. Ця точка називається критичною точкою по другій похідній.

Правило для відшукання точок перегину лінії y=f(х)

І для судження про характер її увігнутості.

Щоб знайти усі точки перегину функції y=f(х) у проміжку (a,b) і визначити на яких ділянках ця лінія увігнута угору або вниз, знаходимо в такий спосіб.

1. Знаходимо в проміжку (a,b) усі критичні точки по другій похідній. Нумеруємо їх у порядку зростання:

a <c₁ <c₂ < … <c_n <b.

Абсциси усіх точок перегину повинні міститися серед цих критичних точок.

2. У всіх точках проміжку (a,b), де існує кінцева друга похідна f(х), відмінна від нуля, вона зберігає незмінний знак усередині кожної з ділянок (a,c₁), (c₁, c₂), …, (c_n,b).

Якщо цей знак більше 0, то y=f(х) на цій ділянці увігнута угору, якщо менше 0, то увігнута вниз.

3. Встановлюємо наявність або відсутність перегину в кожній із точок c₁, c₂, …, с_n. Якщо при переході через точку с_i напрямок увігнутості змінюється на протилежний, а в самій точці с_i лінії y=f(х)має дотичну (тобто перша похідна f(х) існує), то с_i є точка перегину. Якщо хоча б одна із цих умов не виконана, то перегину немає.

3.7.4. Асимптоти.

1. Похилі асимптоти.

Означення.Нехай функція визначена в інтервалі або в інтервалі . Пряму називатимемо асимптотою кривої , якщо виконується умова

.

Геометрична ілюстрація (рис. 3.7). Різниця ординат кривої і прямої прямує до нуля, коли їх абсциси прямують до нескінченності: .

Рис. 3.7.

Теорема. Крива , тоді і тільки тоді має асимптоту , коли існують скінченні границі

, .

(3.44)

Доведення. Необхідність. Нехай пряма є асимптотою кривої , тобто виконується умова

.

Тоді

.

Це можливо лише у випадку:

,

звідки

,

причому – скінченне за умовою, оскільки пряму задано. Далі за умовою знаходимо , , причому – скінченне.

Достатність. Нехай тепер виконується умова, де k і b– скінченні границі, тоді , тобто, за означенням – асимптота кривої .

Доведення теореми у випадку, коли , здійснюється аналогічно, потрібно лише замінити на .

З найти асимптоти функції .

Розв'язування. У точці функція має розрив другого роду, тому – вертикальна асимптота. Знайдемо похилу асимптоту. За теоремою

, .

, .

Отже, пряма є асимптотою функції при (рис.5.8).

Рис. 3.8

Ч и має функція похилі асимптоти?

Розв'язування. Функція похилих асимптот не має, оскільки не існує границі .

З найти похилі асимптоти кривої .

Розв'язування. Областю визначення кривої є частина площини, де . Застосовуючи теорему про побудову асимптот, дістаємо:

,

.

Отже, пряма є асимптотою кривої при .

2. Горизонтальні асимптоти. Якщо у похилій асимптоті функції маємо , то таку похилу асимптоту називають горизонтальною асимптотою функції. Отже, горизонтальна асимптота – частинний випадок похилої – відшукується як похила асимптота за умов:

,

і має вигляд . До речі, умову можна не перевіряти, якщо – скінченна границя, оскільки в такому разі границя завжди дорівнює нулю. Звідси можемо зробити висновок.

Зауваження. Для того щоб пряма була горизонтальною асимптотою функції , , , необхідно і достатньо, щоб існувала скінченна границя .

З найти горизонтальні асимптоти функції .

Розв'язування. Маємо

, .

Отже, горизонтальні асимптоти (3.9).

Рис. 3.9