Решение

Разность потенциалов между концами стержня будет равна по величине ЭДС индукции, возникающей в стержне за счёт вращения

. (1)

Для однородного магнитного поля и плоской поверхности dФ_m=BdScos, или, подставив в (1), получаем (знак минус опустим, так как необходимо найти только величину ЭДС)

. (2)

По условию задачи cos =1, поэтому из выражения (2) следует

, (3)

d = dt = (2n)dt. (4)

Подставляя (4) в (3), получим:

.

U = 10^–322 (1,2² + 21,20,25)/2 = 0,0128 В = 12,8 мВ.

7. Прямой проводник длиной l=10 см помещён в однородное магнитное поле с индукцией В=1 Тл. Концы проводника замкнуты гибким проводом, находящимся вне поля. Сопротивление внешней цепи R=0,4 Ом. Какая мощность потребуется для того, чтобы двигать проводник перпендикулярно линиям индукции с постоянной скоростью =20 м/с?

Решение

Проведём анализ условия задачи. При движении проводник будет пересекать линии индукции. За счёт этого в проводнике возникнет ЭДС индукции

 = – dФ/dt, (1)

где в данном случае

dФ = BdS = Bldt . (2)

Подставляя (2) в (1), получаем:

 = – Bl.

Сила индукционного тока в цепи согласно закону Ома

I =  / R = – (Blv)/R.

Тепловая мощность, выделяемая на внешнем сопротивлении

P = I²R = B²l²²/R.

Эта мощность будет равна мощности, которую необходимо подводить к системе за счёт внешней силы, действующей на проводник, для того, чтобы скорость движения проводника была постоянной. Таким образом:

P = B²l²²/R = 10,01400/0,4 = 10 Вт.

8. Две катушки равномерно намотаны на цилиндрический сердечник, длина которого много больше диаметра. Индуктивность первой катушки 0,2 Гн, второй- 0,8 Гн. Сопротивление второй катушки 600 Ом. Какой ток потечёт по второй катушке, если ток в 0,3 А, текущий в первой катушке, выключить в течение времени 0,001 с.

Решение

Данная задача относится к разделу взаимной индукции. Сила тока во вторичной обмотке

I₂ = ₂/R₂. (1)

Величина ₂ зависит от взаимной индуктивности L₁₂ и быстроты изменения силы тока I₁

 ₂ = –L₁₂dI₁/dt = –L₁₂I₁/t = –L₁₂(I₁ – I₀₁)/t. (2)

Взаимная индуктивность двух соленоидов, имеющих общий сердечник, рассчитывается по формуле

L₁₂ = ₀n₁n₂lS. (3)

Собственные индуктивности

L₁ = ₀n₁²lS, (4)

L₂ = ₀n₂²lS, (5)

поэтому, учитывая выражения (3), (4), (5), получаем

L₁₂ = . (6)

Подставляя выражение (6) в выражение (2), а полученный результат - в выражение (1), получаем:

I₂ = (L₁₂I ₀₁)/R₂ = (I₀₁ )/R₂t.

I₂ = = 0,2 А.

9. На тороид квадратного поперечного сечения намотано 1000 витков провода. Внутренний радиус тороида равен 0,1 см, внешний - 0,2 см. Магнитная проницаемость тороида равна100. По обмотке тороида протекает электрический ток силой 1 À. Определить энергию магнитного поля внутри тороида.

Решение

Решим задачу двумя способами.

1. Энергия магнитного поля – это энергия, запасённая в индуктивности:

,

где L  индуктивность, I  сила тока, протекающего в индуктивности.

Потокосцепление, согласно определению индуктивности, рассчитывается как

 = LI,  = NФ_m,

где Ф_m  магнитный поток через поперечное сечение S тороида.

,

где r  расстояние от центра тороида до площадки dS, на которой определяется величина индукции магнитного поля. Так как тороид квадратного сечения, то высота площадки h = (r ₂ - r ₁), а ширина  dr. Поэтому

.

Тогда индуктивность тороида

L = = ₀N ² (r₂ - r₁)ln .

Подставляя выражение для индуктивности в выражение для энергии, получаем

.

W_m = 100410^–710⁶10^–31ln2 /(4) = 6,9 мДж.

2. Энергия магнитного поля W_m связана с плотностью энергии w_m соотношением:

W_m = ,

где w _m = ₀Н ²/2.

Внутри тороида

Н = NI/l = NI/2r.

Выберем в качестве элемента объема dV объем цилиндрического слоя радиусом r, высотой h=(r₂ - r₁) и толщиной dr (в пределах этого слоя величина Н постоянна). Запишем выражение для dV=(r₂ – r₁)2r·dr и подставим в выражение для энергии W_m. Получаем

W _m =  ₀N ² I ²(r ₂ - r ₁)ln .

Подставим числовые значения и получим:

W = 6,9 МДж.

Как видим, оба решения дают одно и то же значение.

Примечание: если в условии задачи величина  не задана, а указано, что тороид представляет собой железный, стальной или чугунный сердечник, то величина  находится по графику зависимости В = В(Н) (прил. 1) как

 = В/ ₀Н.

В качестве величины Н принять значение Н в центральной точке поперечного сечения тороида.