3. Деление с остатком в кольце полиномов от одной переменной. Теорема о делении с остатком.

Представление полинома f(x) в виде называется делением с остатком полинома f(x) на g(x), r(x) - остаток, s(x) – неполное частное.

Теорема:

множество обратимых элементов в К.

Свойство: Если К – поле, то любой полином f(x) можно разделить на произвольное ненулевое g(x) (потому что в поле любой ненулевой элемент необратим).

4. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное полиномов. Алгоритм Евклида. Линейное выражение нод. Взаимно простые полиномы и их свойства.

. Полином называется их общим делителем, если .

Определение: НОД полиномов f(x) и g(x) называется такой их общий делитель d(x), который кратен любому другому общему делителю этих полиномов:

1. 

2. .

Обозначение:

Свойство: Если

Определение: Полином f(x) называется унитарным, если старший коэффициент а_n=1.

Замечание: В дальнейшем в качестве НОД будем рассматривать только унитарный полином, если это возможно.

Свойство: 1. ,то .

2. .

Алгоритм Евклида: К – поле. .

С каждым шагом степень остатка уменьшается, значит, на некотором шаге получим остаток равный нулю. . Последний неравный нулю остаток является НОД. .

Следствие: Если К – поле, то НОД всегда существует.

Теорема о линейном выражении НОД двух полиномов: Если , то

Определение: Полиномы называются взаимно простыми, если их НОД равен 1, либо любое ненулевое число.

Теорема (критерий взаимно простых полиномов): .

Определение: Общим кратным полиномов называется такой полином , что .

Определение: НОК полиномов называется такой полином , который является общим кратным, и любое общее кратное этих полиномов делится на .

Теорема (обозначение НОК[f(x), g(x)]): НОК двух полиномов равен произведению этих полиномов, деленное на НОД.

8. Полиномиальные отображения. Корни полинома. Деление полинома на линейный двучлен. Схема Горнера. Теорема Безу.

Теорема: можно поделить с остатком на х – с, с К. Деление с остатком: .

Теорема Безу: В условии теоремы (см. выше) остаток будет равен

Доказательство: 1

2

Определение: Элемент с К называется корнем полинома , если f(c)=0.

Схема Горнера: Дан полином f(x)=a_n xⁿ+a_n-1 x^n-1+…+a₁ x+a₀, поделим его на двучлен х – с и получим неполное частное s(x)=b_n-1 x^n-1+b_n-2 x^n-2+…+b₁ x+b₀. Тогда a_n xⁿ+a_n-1 x^n-1+…+a₁ x+a₀=(x-c)( b_n-1 x^n-1+b_n-2 x^n-2+…+b₁ x+b₀)+r. Будем искать коэффициенты неполного частного:

……………………………… ……………………….

	an	an-1	an-2	...	a1	a0
c	an	+c	+c		a1+cb1	r=a0+cb0
	bn-1	bn-2=an-1+cbn-1	bn-3=an-2+cbn-2		b0