10. Производная полинома. Определение и свойство производной полинома.

Определение: Если . Формальной производной полинома называется полином .

Производная к – порядка называется

Свойства: Если , то

1. 

2. 

3. 

4. 

11. Кратные множители и кратные корни полинома.

Определение: неприводимый над полем F полином. называется к – кратным множителем f(x), если . Однократные множители называются простыми множителями.

Свойство: Если является к – кратным множителем f(x), то он является (к-1) – кратным множителем . В частном случае, если является простым множителем , то .

Свойство: Если , то НОД .

Следствие: Если не имеет к – кратных множителей, то он взаимно простой со своей производной .

Определение: , является к – кратным корнем, если . Однократным корнем называется простой корень. То, что с есть к – кратный корень, эквивалентно тому, что множитель является к – кратным множителем, аналогичный способ выполняется для к – кратного корня.

12. Производная полинома. Формула Тейлора.

Теорема: Многочлен имеет кратный корень тогда и только тогда, когда .

- линейный остаток

Подставим , получим и

Формула Тейлора: Пусть

, h – второе неизвестное.

Лемма 1: Если свободный член многочлена равен нулю:

, т.е. , то для всякого можно подобрать такое , что при всех , для которых , будет .

13. Полиномы, неприводимые над алгебраически замкнутыми полями. Полиномы, неприводимые над полем комплексных чисел.

14. Полиномы, неприводимые над полем действительных чисел.

15. Рациональные корни полиномов. Критерий Эйзенштейна. Полиномы, неприводимые над полем рациональных чисел.

Свойство: . Если существует такое простое число р, что , то неприводимый над полем .

Следствие: существует полином неприводимый над полем .

Свойство: Если и степень полинома (deg f(x) ), тогда -неприводимый полином над , равносильно, не имеет рациональных корней.

16. Алгебраические уравнения 2-ой степени над полем комплексных чисел.

17. Алгебраические уравнения 3-ей степени над полем комплексных чисел.

Замена: y=u + v

Схема решения:

1. Замена

2. 

3. 

4. 

5. 

18. Алгебраическое уравнение 4-ой степени над полем комплексных чисел.

Лемма:

Доказательство:

Следовательно:

Получим уравнение 3-ей степени относительно .

19. Определение полиномов от нескольких переменных. Операции над полиномами от нескольких переменных. Кольцо полиномов от нескольких переменных.

К – коммутативное кольцо без делителя нуля.

Определение: Полиномом (многочленом) от нескольких переменных (от n неизвестных x₁, x₂,…, x_n) называется сумма конечного числа одночленов вида с коэффициентами из к.

. Полином называется определенным над К.

если все коэффициенты при переменных равны нулю.

, если коэффициенты при соответственных парах равны.

Множество всех полиномов от n – переменных над К обозначают и являются кольцом.