9. Теоремы о рациональных корнях полиномов над полем рациональных чисел.
Свойство:
Если
(коэффициенты – рациональные числа),
тогда
целое число, что
.
Свойство:
с – корень
с
– корень
,
.
Теорема
(первая теорема о рациональных корнях):
Если полином f(x)=an
xn+an-1
xn-1+…+a1
x+a0
,
,
и
- несократимая дробь, которая является
корнем
,
то
Доказательство:
- корень, причем (k,
l)=1,
подставим в полином
и получим
,
(l,
k)
= 1
,
(l,
k)
= 1
Теорема
(вторая теорема о рациональных корнях):
Если
и несократимая дробь
является корнем
,
,
тогда
Если для корня
не выполняется (**), то дробь не является
корнем.
Неприводимые полиномы. Примеры, свойства. Единственность разложения на неприводимые множители.
K=F, F – поле, К – кольцо.
Определение:
Полином
(deg
f(x)
)
называется неприводимым
над полем
F,
если его нельзя представить в виде
произведения необратимых элементов
кольца
.
Если степень полинома (deg
f(x)
)
и его можно представить в виде произведения
необратимых элементов, то он называется
приводимым.
Замечание: Т.к. необратимые элементы кольца , это полином степени (deg f(x) ), то определение можно сформулировать так: неприводим, если его нельзя представить в виде произведения полинома в степени (deg f(x) ). Следовательно, полином первой степени всегда не произведение.
Примеры:
1.
2.
)
),
,
т.к.
,
неприводим над
.
3.
)
),
приводимый над
.
4.
,
приводим над
и неприводим над
.
Свойство: Пусть полином p(x) неприводим над , тогда:
Определение:
Разложение
полинома
называется разложением на неприводимые
множители и представлено в виде
,
Определение:
Для
произведения полинома в степени (deg
f(x)
единственное с точностью до порядка
сомножителями разложение на неприводимые
множители.
Каноническое разложение на неприводимые множители. Нахождение нод и нок полиномов.
Определение:
Каноническим
разложением
называется полином
,
.
Свойство:
Произведение
полинома со степенью (deg
f(x)
можно
единственном образом представить с
точностью до порядка сомножителями в
каноническом виде.
Свойство:
Если
и
,
.
неприводимое
разложение на множители, тогда НОД
,
НОК
.
Функциональное и алгебраическое равенства полиномов.
Алгебраическое определение равенства: (1)
называются
равными, если
На многочлен можно смотреть как на функцию: (2)
равны
(в функциональном смысле), если
значение
.
Теорема:
Алгебраическое и функциональное определения равенства эквивалентны.
Доказательство:
1) Пусть многочлены равны по (1) определению.
Дано:
а значение многочлена определено однозначно. Значит , т.к. коэффициенты равны.
2)
Пусть
равны по (2) определению.
Дано:
: 
является корнем .
имеет бесконечное множество корней => - 0-ой
Два множества равны их соответствующие коэффициенты равны
.