20. Степени полиномов от нескольких переменных. Однородные многочлены.

Определение: Степенью одночлена называется число , а степенью многочлена называется наибольшее из его степеней одночленов .

Определение: Многочлен называется однородным в степени к, если все его одночлены имеют степень к.

Свойство: Т.к. кольцо К без делителя нуля, то степень произведения многочленов равна сумме степеней каждого .

21. Лексикографическое упорядочение полиномов от нескольких переменных.

Определение: Пусть даны два одночлена и . Говорят, что одночлен выше одночлена , если существует такое i₀, что при i<i₀, k_i=l_i, .

Упорядоченным полиномом, при котором более высокий одночлен стоит перед более низким, называется лексикографическим упорядоченным полиномом.

Определение: Одночлен полинома , который выше всех остальных одночленов, называется высшим членом полинома.

Свойства: Высший член произведения двух полиномов равен произведению высших членов каждого полинома.

22. Функциональное и алгебраическое равенства полиномов от нескольких переменных.

23. Симметрические полиномы. Элементарные симметрические полиномы. Теорема Виета.

Определение: Полином называется симметрическим, если он не меняется ни при какой перестановке его переменных.

Определение: Элементарными симметрическими полиномами от переменных называется сумма всех возможных парных произведений.

Свойство (теорема Виета): Пусть z некоторая буква, которая , тогда ,

Частный случай теоремы Виета для полиномов 2-ой степени, т.е. .

24. Элементарные симметрические полиномы. Алгебраическая независимость.

Теорема: Всякий симметрический многочлен обладает лишь единственным выражением в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов.

Доказательство: Пусть :

, то разность

была бы отлична от нуля, т.е. . Замена на

, то :

Если - один из членов многочлена , , заменить все на их выражения



, получим многочлен от , высший член которого , где

,

т.е. по показателям можно восстановить показатели исходного члена многочлена , таким образом, различные члены многочлена обладают различными высшими членами.

Рассмотрим теперь все члены многочлена, для каждого из них найдем высший член, и из них выберем наивысший член, который при переходе от к появляется (с отличным от нуля коэффициентом) только один раз. Отсюда следует, что не все коэффициенты равны нулю, т.е. не является нулем кольца

Другая формулировка: Система элементарных симметрических многочленов , рассматриваемых как элементы кольца многочленов , алгебраически независима над полем .

25. Основная теорема о симметрических полиномах и ее приложение к вычислению выражений от корней многочлена.

Теорема: Если полином симметрический, а – высший член, то не возрастает.

Основная теорема о симметрических полиномах: Любой симметрический полином можно представить в виде полинома от элементарных симметрических полиномов, причем единственным образом. Основная идея: если полином имеет высший член , то мы от него будем отнимать , т.к. этот полинома имеет такой высший член.

Второй способ для однородных полиномов: Будем использовать то, что степень всех одночленов одинакова и переберем все возможные высшие члены, в которых степени не возрастают по свойству.

Степень	Отношение
3 0 0
2 1 0
1 1 1

Т.к. равенство должно выполняться всегда, то подставим какие-нибудь значения в (два набора) и получим систему для нахождения а и в.

x1	x2	x3	f				Подставим значения х в формулы и найдем величины…
1	1	0
1	1	1