10. Векторы и простейшие действия над ними.

Вектор – направленный отрезок. И так называемый нулевой вектор у которого начало и конец совпадают.

Длина вектора-расстояние между началом и концом вектора.

Компланарность векторов – это если существует плоскость, в которой они параллельны.

Колениарность векторов – это если существует прямая которой они паралельны.

Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Два вектора равны, если они коллинеарны, направлены одинаково и имеют рааные длины.

Сложением векторов – называют операцию сопостовляющую двум векторам их сумму

Произведением вектора А на число «альфа» называется любой вектор В удовлетворяющий условиям:

• |B| =|”альфа”|*|A|.

• B коллинеарен А.

• Векторы А и В направлены одинаково если «альфа» больше 0 и противоположно если «альфа» меньше 0. Если же «альфа» = 0, то из первого условия следует, что В=0.

Умножение вектора на число – операция сопоставляющая вектору и числу произведения вектора на это число.

Вычитание-операция обратная сложению, сопоставляющая 2-м векторам их разность. Разность – сумма вектора а и –в.

11. Базис в пространстве, на плоскости и на прямой. Компонента (составляющая) вектора по (вдоль) оси. Проекция вектора на ось. Направляющие косинусы вектора. Теоремы о векторах.

Базисом в пространстве – называются три некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке

Базисом на плоскости – называются два неколлинеарных вектора на этой плоскости взятых в определенном порядке

Базисом на прямой – называется любой ненулевой вектор на этой прямой

Проекция вектора на ось – это вектор, началом и концом которого являются соответственно проекции начала и конца заданного вектора.

Направляющие косинусы вектора a – это косинусы углов, которые вектор образует с положительными полуосями координат.

Теоремы о векторах:

• Каждый вектор, параллельный какой либо прямой может быть разложен по базису на этой прямой. Каждый вектор параллельный какой либо плоскости может быть разложен по базису на этой плоскости. Каждый вектор может быть разложен по базису в пространстве. Компоненты вектора в каждом случае определяются однозначно.

• Равные векторы имеют равные компоненты.

• При умножении вектора на число все его компоненты(координаты) умножаются на это число.

• При сложении векторов складываются их соответствующие координаты(компоненты)

12. Системы координат: декартова, декартова прямоугольная, полярная.

Декартовой системой координат в пространстве – называется совокупность точки и базиса. Точка носит название начала координат прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат. 1-ая ось абцис, 2-ая ось ординат, 3-я ось аппликат.

Декартовой прямоугольной системой координат – называется декартова система координат базис которой ортонормирован.

Ортонормированный базис – если его векторы попарно ортогональны и по длине = 1

Полярная система координат - это совокупность точки, называемой полюсом, и исходящим из нее луч, называемой полярной осью.

12. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами. Условие коллинеарности векторов.

Скалярным произведением двух векторов – называется число равное произведению длины этих векторов на косинус угла между ними.

Угол между векторами – будем понимать угол между векторами равными данным и имеющим общее начало.

Скалярное произведение коммутативно, т.е. а*в=в*а.

Умножение вектора на сам вектор равно модуль вектора в квадрате.

Скалярное произведение равно 0, когда сомножители ортогональны или один из них равен 0.

Колениарность векторов – это если существует прямая которой они параллельны

12. Ориентация тройки векторов. Векторное произведение векторов. Свойства векторного произведения. Выражение векторного произведения через координаты сомножителей.

Ориентация тройки векторов – если два базиса не налагаются, то каждый третий базис будет налагаться либо на первый либо на второй. Таким образом все ортонормированные базисы распадаются на два класса:

• Правоориентированная(правая) если из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки.

• В противном случае называется левоориентированной (левой) а начало векторов в тройке предполагаются совмещенными.

Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах a и b, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтоб наименьшее вращение от a к b вокруг вектора c осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора c.

Свойства векторного произведения:

• Модуль векторного произведения двух векторов a и b равен площади параллелограмма построенного на этих векторах: S_парал = |a × b|

• |c|=|b|*|a|*sin.

• Площадь треугольника построенного на векторах a и b равна половине модуля векторного произведения этих векторов: SΔ =1/2* |a × b|

• Векторное произведения двух не нулевых векторов a и b равно нулю тогда и только тогда, когда вектора коллинеарны.

• Вектор c, равный векторному произведению не нулевых векторов a и b, перпендикулярен этим векторам.

• a × b = -b × a

• (k a) × b = a × (k b) = k (a × b)

• (a + b)×c = a×c + b×c

В ортонормированном базисе векторное произведение выражается через компоненты сомножителей формулой: а×в=