12. Прямая на плоскости: общее уравнение, уравнение в отрезках, векторное уравнение.

Ax+By+C=0- общее уравнение прямой на плоскости.

В общей декартовой системе координат на плоскости каждая прямая может быть задана линейным уравнением. Каждое линейное уравнение Ax+By+C=0 в общей декартовой системе координат на плоскости определяет прямую линию.

– векторное параметрическое уравнение прямой.(t-число).

Каждый ненулевой вектор, компоненты которого α₁ и α₂ удовлетворяют уравнению Aα₁+Bα₂=0, может быть принят за направляющий вектор прямой на плоскости. В частности направляющим вектором будет вектор с компонентами (-В;А).

- векторное уравнение прямой на плоскости, где - радиус вектор начальной точки прямой, - ненулевой вектор, перпендикулярный этой прямой.

, где

Если система декартова прямоугольна, то вектор с компонентами (А;В) перпендикулярен прямой Ax+By+C=0.

, - направляющий вектор прямой

– уравнение прямой в отрезках.

12. Прямая на плоскости: уравнение прямой, проходящей через две точки; уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении; угол между прямыми; условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Прямые Ax+By+C=0 и А₁х+B₁y+C=0 параллельны, когда их коэфициенты пропорциональны, т.е. существует число такое, что А₁=А*число(и по аналогии В), прямы совпадают, если еще и С₁=С*число (причем то же число). Условие параллельности прямых на плоскости: .

k₂=k₁- при параллельных прямых. – при перпендикулярных прямых.

–уравнение прямой, проходящей через 2 точки.

–уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении.

Угол между прямыми вычисляется через скалярное произведение направляющих векторов этих прямых - .Так же, если через угловые коэфициенты: .

12. Окружность и эллипс.

– каноническое уравнение эллипса;

– мнимый эллипс;

Эллипс – это множество всех точек плоскости, сумма расстояний до каждой из которых от двух данных точек , называемых фокусами эллипса, – есть величина постоянная, численно равная длине большой оси этого эллипса: .

При этом расстояния между фокусами меньше данного значения: .

Каноническое уравнение окружности

Окружность – это частный случай эллипса, когда его полуоси равны между собой

Свойства эллипса:

• Эллипс пересекает каждую из осей координат в двух точках.

• Сумма расстояний от любой точки эллипса до его фокусов есть величина постоянная и равная удвоенной большей полуоси.

• Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии.

• Эллипс имеет центр симметрии.

• Центр симметрии эллипса называется центром эллипса.

• Эллипс может быть получен сжатием окружности.

Свойства окружности:

• Диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам.

• Диаметр, проходящий через середину хорды, не являющейся диаметром, перпендикулярен этой хорде.

• Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности.

• Равные хорды удалены от центра окружности на равные расстояния.

• Хорды окружности, удаленные от центра на равные расстояния, равны.

• Окружность симметрична относительно любого своего диаметра.

• Дуги окружности, заключенные между параллельными хордами, равны.

• Из двух хорд больше та, которая менее удалена от центра.

• Диаметр есть наибольшая хорда окружности.