12. Общее уравнение линии второго порядка. Определение положения канонической системы координат.

– общее уравнение линий второго порядка.

Линии второго порядка определяются уравнениями 2-ой степени относительно декартовых прямоугольных координат.

Для определения положения канонической системы координат в случае

А) центральной линии. Находим начало координат О’, как пересечение прямых

. И ищем угол φ( между осью О’Х и Ох) . Пусть мы хотим направить ось О’Х по большой оси эллипса или по действительной оси гиперболы. Тогда выбираем λ₁ и λ₂ соответственно условию для эллипса и , для гиперболы. Подчиняем угол φ еще условию . Здесь важен знак только правой части.

Б) параболы. Для нее начало канонической системы координат и вершины находим из системы уравнений, одно из которых уравнение параболы, а другое уравнение ее оси:

или . Направляющий вектор оси параболы(в сторону вогнутости) имеет компоненты .

12. Плоскость: общее уравнение, параметрические уравнения, векторное уравнение, уравнение в отрезках.

Ax+By+Cz+D=0- общее уравнение плоскости. В общей декартовой системе координат в пространстве плоскость может быть задана линейным уравнением. Каждое линейное уравнение Ax+By+Cz+D=0 определяет плоскость. Плоскость задается двумя некомпланарными векторами(направляющими векторами) и точкой (начальная точка).

–направляющие вектора плоскости.

– векторное параметрическое уравнение плоскости.

– параметрические уравнения плоскости.

Любые два неколлинеарных вектора, компоненты которых удовлетворяют уравнению Aα₁+Bα₂+Cα₃=0, могут быть приняты за направляющие вектора плоскости, имеющей уравнение Ax+By+Cz+D=0 в декартовой системе координат.

Плоскость вполне определяется ее начальной точкой и ненулевым вектором, перпендикулярным плоскости (нормальный вектор).

- векторное уравнение плоскости.

– можно принять за нормальный вектор плоскости.

–тоже векторное уравнение и это: . Если система координат декартов, то вектор с компонентами А,В и С является нормальным вектором для плоскости (Ax+By+Cz+D=0).

– уравнение плоскости в отрезках.

12. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Расстояние от точки до плоскости. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

Плоскости Ax+By+Cz+D=0 и А₁х+B₁y+C₁z+D₁=0 параллельны, когда их коэфициенты пропорциональны, т.е. существует число такое, что А₁=А*число(и по аналогии В и С), плоскости совпадают, если еще и D₁=D*число (причем то же число). Условие параллельности плоскостей:

.

Плоскости перпендикулярны, когда перпендикулярны их нормальные вектора, т.е. их скалярное произведение =0.

– уравнение плоскости, проходящей через 3 точки.

–расстояние от точки до плоскости (X,Y,Z – координаты точки).

Угол между плоскостями находят как угол между их нормальными векторами:

12. Прямая в пространстве: параметрические уравнения, каноническое уравнение, общее уравнение.

- каноническое уравнение прямой в пространстве. Условно считают, что, если в уравнение знаменатель =0,то и числитель тоже =0.

– векторное параметрическое уравнение прямой.(t-число).

– параметрическое уравнения прямой в пространстве.

– общее уравнение прямой в пространстве.

Пересечение плоскостей прямая тогда и только тогда, когда они не параллельны, т.е. общее уравнение прямой в пространстве определяет одну прямую тогда и только тогда, когда .

12. Угол между двумя прямыми. Расстояние от точки до прямой. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми.

Угол между прямыми вычисляется через скалярное произведение направляющих векторов этих прямых - .

– расстояние от точки до прямой, где n- нормальный вектор прямой.

–расстояние между двумя непересекающимися прямыми, если они пересекаются расстояние =0.

12. Параметрические уравнения поверхностей. Конусы. Уравнения, не содержащие одной из координат.

–параметрические уравнения поверхностей. Для каждой точки М существует такая пара чисел, при которых координаты точки получаются из этих уравнений. Для точки, не лежащей на поверхности таких чисел нет.

Конусом называется поверхность, составленная из прямых линий, проходящих через фиксированную точку – вершину конуса. Прямые носят название образующих. Линия, которая лежит на конусе, но не проходит через его вершину и пересекает все образующие называется направляющей конуса.

- параметрические уравнения конуса. - параметрические уравнения для любого прямого конуса.

Поверхность, которая состоит из прямых линий(а именно они получаются, если исключить одну из координат), параллельных заданному направлению, называется цилиндрической поверхностью или цилиндром, а прямые линии-образующими. Линию лежащую на поверхности и пересекающую все образующие называют направляющей. Уравнение, не содержащее одной из координат определяет цилиндр с образующими, параллельными соответствующей оси координат.

– поверхность вращения прямого кругового конуса.

-конус второго порядка. Конус состоит из прямых линий, проходящих через начало координат. Сечения плоскостями z=α-эллипсы: , .