12. Гипербола.

Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы:

• Гипербола не имеет общих точек с осью Oy , а ось Ox пересекает в двух точках A ( a ; 0) и B (– a ; 0), которые называются вершинами гиперболы

• Гипербола имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии.

• Гипербола имеет центр симметрии.

Гипербола пересекается с прямой y=kx при в двух точках. Если то общих точек у прямой и гиперболы нет.

12. Парабола.

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки F и заданной прямой d, не проходящей через заданную точку

Каноническое уравнение параболы имеет вид , где – действительное число

Свойства параболы:

• Парабола имеет ось симметрии.

• Парабола расположена в полуплоскости x ≥ 0.

12. Общее уравнение линии второго порядка и его инварианты. Классификация линий второго порядка и определение параметров канонических уравнений.

– общее уравнение линий второго порядка.

Линии второго порядка определяются уравнениями 2-ой степени относительно декартовых прямоугольных координат.

Инварианты: , -дискриминант старших членов уравнения, -дискриминант старших уравнения. Корни квадратного уравнения тоже являются инвариантами: .

Пусть в декартовой системе координат задано уравнение . Тогда существует такая декартова система координат, в которой это уравнение принимает один из канонических видов: эллипс- , мнимый эллипс - , пара мнимых пересекающихся прямых(эллипс выродившийся в точку)- , гипербола - , пара действительных пересекающихся прямых(гипербола выродившаяся) – , парабола - , пара мнимых параллельных прямых - , пара действительных параллельных прямых - , одна действительная прямая(пара совпавших прямых) - .

k- полуинвариант .

			Невырожденные линии		Вырожденные
Центральные линии				Эллипс		-
				Мнимый эллипс		-
				-		Пара мнимых пересекающихся прямых
				Гипербола		Пара действительных пересекающихся прямых
Линии без центра или с неопределенным центром				Парабола		Пара мнимых парааллельных прямых
						Параа действительных параллельных прямых
						Одна действительная прямая

• Для эллипса ,

• Для гиперболы ,

• Для параболы

Канонические линии 2-го порядка имеют один из следующих видов:

(эллипс, мнимый эллипс, гипербола, пара мнимых пересекающихся прямых, пара действительных пересекающихся прямых)

(парабола)

(пара параллельных прямых, пара мнимых параллельных прямых, пара совпавших прямых)