12. Смешанное произведение векторов. Свойства смешанного произведения. Выражение смешанного произведения через координаты сомножителей.

Смешанное произведение векторов — скалярное произведение вектора a на векторное произведение векторов b и c.

Свойства смешанного произведения векторов:

• Модуль смешанного произведения трех векторов a, b и с равен объёму параллелепипеда, образованного этими векторами: V_парал = a • |b × c|

• Объем пирамиды образованной тремя векторами a, b и с равен одной шестой части от модуля смешанного произведения этих векторов: V_пир = 1/6|a •|b × c||

• Если смешанного произведения трех не нулевых векторов равно нулю, то эти вектора компланарные.

• a • |b × c| = b • (a • c) - c • (a • b)

• a • |b × c| = b • |c × a| = c • |a × b| = -a • |c × b| = -b • |a × c| = -c • |b × a|

• a • |b × c| + b • |c × a| + c • |a × b| = 0 - тождество Якоби.

Выражение:

Смешанное произведение векторов a, b, c выражается через их компоненты (а1,а2,а3),(в1,в2,в3), (γ1,γ2,γ3) в произвольном базисе e1,e2,e3 по формуле: abc=(а1*в2*γ3+а2*в3*γ1+а3*в1*γ2-а3*в2*γ1-а2*в1*γ3-а1*в3*γ2)*e1*e2*e3 (или же в матрице элементы умноженные на вектора е. там уже по правилу треугольников)

12. Собственные значения и собственные векторы матрицы.

Ненулевой вектор, который при умножении на некоторую квадратную матрицу превращается в самого же себя с числовым коэффициентом, называется собственным вектором матрицы. Число называют собственным значением или собственным числом данной матрицы.

12. Алгебраическая линия на плоскости. Понятие об инвариантах. Параметрические уравнения линий.

Алгебраическая линия на плоскости – множество, которое в какой-нибудь декартовой системе координат на плоскости может быть задано уравнением вида . Показатели неотрицательные целые числа. Степень уравнения - наибольшая из сумм k₁+l₁,…, k_s+l_s.

Если линия на плоскости в некоторой декартовой системе координат задана уравнением вида , то и в другой декартовой системе координат она может быть задана уравнением того же вида, имеющим ту же степень.

Инвариант-всякая величина, не изменяющаяся при изменении системы координат.

- параметрические уравнения линии в пространстве. -параметрические уравнения линии на плоскости.

12. Прямая на плоскости: параметрические уравнения, каноническое уравнение, уравнение с угловым коэффициентом.

Прямая на плоскости полностью определена, если задана точка М(начальная точка) и задан ненулевой вектор(направляющий вектор) параллельный этой прямой.

– параметрическое уравнение прямой на плоскости.

– векторное параметрическое уравнение прямой.(t-число).

Каждый ненулевой вектор, компоненты которого α₁ и α₂ удовлетворяют уравнению Aα₁+Bα₂=0, может быть принят за направляющий вектор прямой на плоскости. В частности направляющим вектором будет вектор с компонентами (-В;А).

- уравнение прямой с угловым коэффициентом, где , . Угловой коэффициент прямой - , отношение компонент направляющего вектора. Если прямая не параллельна оси ординат, то в уравнении b-точка пересечения прямой с осью ординат. Угловой коэфициент в декартовой системе координат представляет собой тангенс угла между мрямой и осью Ox. Если прямая параллельна оси ординат, то ее уравнение можно записать х=х₀, где х₀ – точка пересечения прямой с осью Ох.

– каноническое уравнение прямой на плоскости. Условно считают, что, если в уравнение знаменатель =0,то и числитель тоже =0.