4. Основы реологии.

4.1. Реологические модели жидкостей.

В первой главе показано, что модель сплошной среды определяется термодинамическим соотношением – уравнением состояния, а также законом определяющем зависимость между тензором напряжений и тензорами деформаций и скоростей деформаций. Простейшей механической моделью сплошной среды является модель идеальной жидкости, для которой характерно отсутствие сопротивления (сил трения) при скольжении одного слоя жидкости по другому (1.5.24). В нормальных условиях модель идеальной жидкости широко используется при изучении движения многих жидкостей и газов вдали от твёрдых границ.

В тех случаях, когда силами трения или напряжения сдвига при движении жидкости пренебречь нельзя, используют следующую по сложности модель  вязкую ньютоновскую жидкость:

(4.1.1)

(i, j = 1,2,3). (4.1.2)

Т.е. между компонентами девиатора напряжений и скоростей деформации существует прямо пропорциональная связь.

Например, при плоском слоистом течении жидкости вдоль оси Ох₁, когда V₁ = V₁(x₁, x₂), V₂ = V₃ = 0, нормальные и касательные напряжения определяются зависимостью:

Если, кроме того, жидкость несжимаема ( ) и скорость V₁ не зависит от x₁ , то соотношения имеет простейший вид:

Свойствами ньютоновских жидкостей, описываемых уравнениями (4.1.2), обладает большинство чистых жидкостей и газов. Однако, многие растворы, в том числе буровые и тампонажные, проявляют свойства, отличные от свойств ньютоновских жидкостей.

Вязкость неньютоновских жидкостей зависит не только от температуры и давления, но и от скорости сдвига, деформации, времени, характера движения.

1. Основной признак неньютоновского поведения жидкостей заключается в нелинейном поведении компонент девиаторов напряжений и скоростей деформации.

Рис. 4.1. Реологические законы в жидкостях:

1  ньютоновская жидкость;

2  бингамовский пластик;

3  псевдопластическая жидкость;

4  дилатантная жидкость.

На рис. 4.1 изображены характерные кривые зависимости напряжения сдвига ₁₂ =  от скорости деформации сдвига для неньютоновских жидкостей при плоском прямолинейном установившемся движении вдоль оси Ох₁. Поведение жидкости, описываемое кривой 3, называется псевдопластичным, а кривой 4  дилатантным. Различными авторами предлагалось множество аппроксимаций этих кривых, но наиболее широкое применение получили двухпараметрические аппроксимации:

• Модель Шведова  Бингама для псевдопластичных жидкостей (вязкопластичная бингамовская жидкость).

(4.1.3)

Характеризуется тем, что обладает пространственной жёсткой структурой и благодаря этому сопротивляется внешнему воздействию до тех пор, пока вызванное им напряжение сдвига не превзойдёт предельного значения, соответствующего этой структуре. После этого структура полностью разрушается и жидкость начинает вести себя как обычная ньютоновская вязкая жидкость при кажущемся напряжении, равном избытку действительного напряжения  над предельным ₀ .

• Модель Освальда  Вейля (степенная), используемая для обоих типов жидкостей:

, (4.1.4)

где ₀  предельное (или динамическое) напряжение сдвига;  пластическая (структурная) вязкость; k  показатель консистенции; n  показатель неньютоновского поведения: при n < 1 жидкость псевдопластичная, при n > 1  дилатантная.

Между параметрами моделей устанавливается следующая связь:

где  скорость деформации сдвига, выше которой зависимость  от практически линейна.

Отметьте тот факт, что реологические параметры  ₀  n  для тампонажного и бурового растворов зависят от температуры, давления, состава, диапазона изменения скорости деформации сдвига , для которой справедливы модели (4.1.3) и (4.1.4).

2. Чтобы установить характер зависимости между касательными напряжениями и скоростями деформации сдвига и определить реологические параметры жидкости в заданных условиях, используют наиболее простые формы движения:

установившееся ламинарное (слоистое) течение жидкости вдоль оси цилиндрической трубы;

тангенциальное течение между двумя соосными цилиндрами.

При этих течениях линии тока либо прямые линии, либо  концентрические окружности. Такие течения можно создать лишь в специальных приборах: капиллярных или ротационных вискозиметрах.

При течении жидкости между двумя вертикальными соосными цилиндрами длиной , из которых наружный вращается с угловой скоростью , реологические параметры для бингамовской жидкости могут быть определены из соотношения:

,

а для жидкости, соответствующей степенной модели:

,

где М  вращающий момент, приложенный к наружному цилиндру;  = Г₀/Г; Г₀ и Г  радиусы внутреннего и внешнего цилиндров соответственно.

Для произвольного течения несжимаемых ( = 0) вязкопластичных жидкостей используются следующие уравнения состояния, обобщающие уравнения (4.1.2) и модели (4.1.3), (4.1.4) :

(4.1.5)

, (4.1.6)

где Н₁  интенсивность скоростей деформаций сдвига при  = 0:

,

 интенсивность касательных напряжений,

.

При определённых нестационарных режимах течения буровые и тампонажные растворы могут проявлять особые свойства неньютоновского поведения:

• тиксотропность  зависимость жёсткости структуры от продолжительности деформирования и предыстории движения;

• запаздывание во времени установления деформации при действии постоянного напряжения или, наоборот, запаздывание во времени установления напряжений при постоянной деформации (релаксация напряжений).

• Как Мы уже видели по мере увеличения скорости течения всякое упорядоченное движение частиц жидкости постепенно нарушается и переходит в новую форму  турбулентное движение, при котором движение частиц становится неупорядоченным (хаотичным).

Для вязкопластичных сред переход от структурного к турбулентному режиму течения принято определять по величине обобщённого параметра Рейнольдса:

• для степенной модели

• , (4.1.8)

• для модели Бингама

• . (4.1.9)

Нижняя граница обобщённых параметров Гe и Гe_* равна 2100. Отличительным признаком турбулентных течений является зависимость скорости от времени в любой точке потока.

Для количественного описания турбулентных течений Рейнольдс предложил действительные скорости (давления) в данной точке представлять в виде суммы средних во времени величин и пульсационных составляющих. Для развитого турбулентного течения пульсационные составляющие пренебрежимо малы со средними значениями величин, поэтому сохраняется интегральная теорема движения, эквивалентная трём дифференциальным уравнениям + уравнение неразрывности.

В этом случае вместо обычных значений величин используются их средние значения, а вместо напряжений используется сумма компонент напряжений, связанных со средними скоростями + напряжения Рейнольдса:

. (4.1.10)

Иначе говоря, для решения задач турбулентного течения возможно применение уравнений механики сплошной среды, при условии, что величины входящие в эти уравнения, будут соответственно заменены на величины