Золотые р-пропорции

р	0	1	2	3	4	...	
 р	2	1,618	1,465	1,380	1,324	...	1

Таким образом, между числами 2 и 1 находится бесконечное число новых иррациональных чисел, золотых р-пропорций, которые выражают более сложные «гармонии», чем классическая золотая пропорция  = 1,618. То есть, золотых пропорций существует бесконечное количество. И все они имеют одинаковое право выражать «Математическую гармонию». Это – первый методологический вывод, который вытекает из «Математики Гармонии» [47].

Исследование свойств р-чисел Фибоначчи изолотых р-пропорций, которые выражают «Математическую гармонию», и их приложений и является главной задачей новой математической теории – «Математики Гармонии» [47].

Геометрическая формулировка задачи о золотом р-сечении

А теперь сформулируем «задачу о золотом р-сечении» геометрически. Как известно [78-80], «золотое сечение» отрезка АВ точкой С представляет собой его деление на две неравные части АС и СВ так, чтобы выполнялась следующая пропорция:

(54)

Эта задача допускает следующее обобщение [8]. Зададимся целым неотрицательным числом р=0, 1, 2, 3,... и разделим отрезок AВ точкой C в следующей пропорции:

(55)

Если обозначить и учесть, что АВ = АС + СВ, то отношение можно представить в виде:

(56)

Учитывая введенное выше обозначение и пропорцию (55), выражение (56) можно записать в виде:

,

откуда непосредственно вытекает алгебраическое уравнение (53), полученное нами при исследовании отношений соседних р-чисел Фибоначчи.

Это означает, что деление отрезка в отношении (55) является делением отрезка в золотой р-пропорции  _р.

Заметим, что пропорция (55) сводится к «дихотомии» (то есть к делению отрезка пополам) для случая p = 0 и к классическому золотому сечению для случая p = 1. Учитывая это обстоятельство, деление отрезка AB точкой C в отношении (55) было названо в [8] золотым p-сечением.

Некоторые алгебраические свойства золотой р-пропорции

Подставляя золотую р-пропорцию  _р вместо x в уравнение (53), получим следующее тождество для золотой р-пропорции:

.

(57)

Разделив все члены тождества (57) на , получим следующие замечательные свойства золотой р-пропорции:

(58)

и

.

(59)

Заметим, что для случая р=0 ( ₀=2) тождества (58) и (59) вырождаются в следующие тривиальные тождества:

и 2 – 1 = .

При р=1 , а тождества (58), (59) вырождаются в замечательные тождества (15), (16), хорошо известные в теории золотого сечения.

Будем теперь многократно умножать и делить все члены тождества (57) на  _р; в результате получим следующее замечательное тождество, связывающее степени золотой р-пропорции:

.

(60)

Таким образом, введенное выше понятие «золотой р-пропорции», действительно, представляет общематематический интерес, поскольку «теория «золотой р-пропорции» включает в себя в качестве частных случаев теорию двоичных чисел и теорию классической золотой пропорции.

Обобщенный принцип Золотого Сечения

Рассмотрим основное тождество для золотой р-пропорции, задаваемое (60). Разделим все члены тождества (60) на . В результате получим следующее тождество, задающее «Единицу»:

.

(61)

Используя (60), (61), можно сконструировать следующую «динамическую» модель разложения «Единицы» по степеням золотой р-пропорции:

(62)

Основным результатом проведенного исследования, изложенном в [54], является получение весьма общего тождества, позволяющего представить «Единицу» как сумму степеней золотой р-пропорции:

,

(63)

Заметим, что при р=0 тождество (63) принимает следующий вид:

(64)

Известно [83], что тождество (64) выражает так называемый «Принцип дихотомии», который пришел к нам из античной науки («Апории Зенона») и который широко используется в математике и других науках.

Наконец, при р=1 тождество (63) принимает вид:

(65)

Заметим, что тождество (65) выражает так называемый «Принцип Золотого Сечения» [83], который также пришел к нам из античной науки.

Следовательно, тождество (63) задает нам более общий научный принцип деления целого на части, который назван в [54] «Обобщенным Принципом Золотого Сечения». Еще раз подчеркнем, что этот общий принцип содержит в себе в качестве частных случаев «Принцип Дихотомии» (р=0) и «Принцип Золотого Сечения» (р=1), и следовательно, он имеет такое же важное методологические значение, как «Принцип Дихотомии» и «Принцип Золотого Сечения».

«Золотые» алгебраические уравнения

Алгебраическое уравнение (53), выведенные нами при исследовании р-чисел Фибоначчи, является уравнением (р+1)-й степени и имеет, следовательно, р+1 корней x₁, x₂, x₃, …, x_p, x_p+1. В дальнейшем будем считать, что корень x₁ всегда совпадает с золотой р-пропорцией  _p, то есть, x₁ =  _p. Из уравнения (53) непосредственно вытекает следующее тождество, справедливое для любого из его корней x₁, x₂, x₃, …, x_p, x_p+1:

(66)

где n = 0, ±1, ±2, ±3, …; x_k – корень уравнения (53); k = 1, 2,..., р+1.

В работе [51] доказаны следующие необычные свойства корней уравнения (53):

х1+х2+х3+х 4+... +хр+хр+1 =1

(67)

х₁х₂х₃х ₄...х_р-1х_рх _{р +1} = (-1)^p (67)

Кроме того, доказано [51], что для заданных целых р=1, 2, 3,... и k=1, 2, 3, …, p для корней уравнения (53) выполняется следующее тождество:

х1k + х2k + х3k +... +хрk + хр+1k = 1.

(68)

В работе [51] доказано также, что существует бесконечное число алгебраических уравнений, производных от «золотого» уравнения (53), причем все они имеют общий корень – золотую р-пропорцию  _p. Общий вид такого уравнения имеет вид:

(69)

где F_p(n-р+1) и F_p(n-р-t) – р-числа Фибоначчи, задаваемые (45), (46), n р+1.

В частности, для случая р=1 общее уравнение (68) принимает следующий вид:

xn = Fnx + Fn-1,

(70)

где F_n, F_n-1 – числа Фибоначчи.

При n=4 уравнение (73) сводится к следующему уравнению:

x4 = 3x + 2.

(71)

Уравнения (71) приводит нас к неожиданному результату, значение которого выходит за пределы математики. Оказывается, что уравнение (71) описывает энергетическое состояние молекулы бутадиена – ценного химического вещества, которое используется при производстве каучука. Известный американский физик, Лауреат Нобелевской Премии Ричард Фейнман выразил свое восхищение по поводу уравнения (71) в следующих словах: «Какие чудеса существуют в математике! Согласно моей теории золотая пропорция древних греков дает минимальное энергетическое состояние молекулы бутадиена».

Этот факт сразу же повышает наш интерес к «золотым» алгебраическим уравнениям, задаваемым (69) и (70). Возможно, что именно эти уравнения могут быть использованы в качестве «золотых» математических моделей энергетических состояний молекул других физических веществ.

Обобщенные формулы Бине для р-чисел Фибоначчи и р-чисел Люка

Как упоминалось выше, формулы (11), (12), выведенные еще в 19 в. известным французским математиком Бине, является ли едва ли не самыми знаменитыми формулами «теории чисел Фибоначчи» [78-80]. Возникает вопрос, а нельзя ли вывести подобные формулы для р-чисел Фибоначчи? Эта задача была решена Стаховым и Розиным в работе [52]. В этой работе выведены обобщенные формулы Бине, позволяющие представить аналитически р-числа Фибоначчи через корни «золотого» алгебраического уравнения (53). Доказано [52], что для заданного целого р>0 любое р-число Фибоначчи F_p(n) (n=0, ±1, ±2, ±3, …) может быть выражено через корни «золотого» алгебраического уравнения (53) в следующем виде:

Fp (n) = k1(x1)n + k2(x2)n + … + kp+1(xр+1) n

(72)

где x₁, x₂, …, x_p+1 — корни «золотого» алгебраического уравнения (53), а k₁, k₂, …, k_p+1 – постоянные коэффициенты, которые являются решением системы уравнений:

Fp (0) = k1 + k2 + … + kp+1=0 Fp (1) = k1x1 + k2x2 +...+ kp+1xр+1=1 Fp (2) = k1(x1)2 + k2(x2)2 + … + kp+1(xр+1) 2=1 ...................................................................... Fp (р) = k1(x1)р + k2(x2)р + … + kp+1(xр+1) р=1

(73)

В частности, при р=1 р-числа Фибоначчи сводятся к классическим числам Фибоначчи F_n и для этого случая выражение (72) сводятся к хорошо известному в «теории чисел Фибоначчи» [78-80] выражению:

Fn = k1(x1)n + k2(x2)n,

(74)

где x₁, x₂ – корни алгебраического уравнения (13), задаваемые выражениями:

x1 = ; x2 = ,

(75)

а коэффициенты k₁, k₂ являются решениями системы уравнений:

F0 = k1 + k2 = 0 F1) = k1τ + k2(-1/τ) = 1

(76)

В результате решения системы уравнений (76) мы получаем следующие выражения для коэффициентов k₁ и k₂:

k1 = ; k2 = .

(77)

Подставляя выражения (75), (77) в формулу (74), получим хорошо известную формулу Бине для чисел Фибоначчи:

.

(78)

Как известно [78-80], числа Люка L_n могут быть выражены через корни x₁, x₂ следующем образом:

(79)

В работе [52] доказано, что сумма n-х степеней корней x₁, x₂, …, x_p+1 «золотого» алгебраического уравнения (53) задает новый класс рекуррентных числовых последовательностей, названных в [52] р-числами Люка L_p(n), где р=1, 2, 3,..., то есть,

Lp (n) = (x1)n + (x2)n + … + (xр+1)n

(80)

С использованием свойств корней алгебраического уравнения (53), задаваемых (66)-(67), доказано [28], что числовая последовательность, задаваемая (80), может быть также вычислена по рекуррентной формуле:

Lp (n) = Lp (n-1) + Lp (n-р-1)

(81)

при следующих начальных условиях:

Lp (0) = р+1

(82)

Lp (1) = Lp (2) =... = Lp (р) = 1.

(83)

Табл. 5 задает значения р-чисел Люка для начальных значений р=1, 2, 3, 4.

Таблица p-чисел Люка

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
L1(n)	2	1	3	4	7	11	18	29	47	76	123	199	322
L2(n)	3	1	1	4	5	6	10	15	21	31	46	67	98
L3(n)	4	1	1	1	5	6	7	8	13	19	26	34	47
L4(n)	5	1	1	1	1	6	7	8	9	10	16	23	31

Таким образом, основным результатом работы [52] является обобщение формул Бине и открытие нового класса рекуррентных числовых последовательностей, обобщенных чисел Люка, задаваемых (80)-(83), которые, вполне вероятно, могут быть использованы в качестве моделей явлений окружающего нас мира.

Золотые р-пропорции и «Сакральная Геометрия»

Введенные выше новые математические понятия, в частности, такие как р-числа Фибоначчи, золотые р-пропорции, гиперболические функции Фибоначчи и Люка, имеют много интересных приложений в математике. Начнем с такого древнего математического учения как «Сакральная Геометрия». В брошюре автора «Сакральная Геометрия и Математика Гармонии» [20], которое затем была выставлена на сайте «Академия Тринитаризма» [62], показано, что понятие золотой р-пропорции имеет прямое отношение к сакральной геометрии [84].

Рассмотрим «золотой р-прямоугольник» [20, 62], в котором отношение сторон равно:

 _p: 1, где  _p – золотая р-пропорция.