Золотой прямоугольник и кредитная карта

Пентаграмма. Но наибольший интерес у школьников вызовет совершенная геометрическая фигура, получившая название пентаграммы или пентакла.

Пентаграмма и «Пентагон»

Если в пентаграмме провести все диагонали, то в результате мы получим хорошо известную нам пятиугольную звезду. Доказано, что точки пересечения диагоналей в пентаграмме всегда являются точками золотого сечения диагоналей. При этом эти точки образуют новую пентаграмму FGHKL. В новой пентаграмме можно провести диагонали, пересечение которых образуют еще одну пентаграмму, и это процесс может быть продолжен до бесконечности. Таким образом, пентаграмма ABCDE как бы состоит из бесконечного числа пентаграмм, которые каждый раз образуются точками пересечения диагоналей. Эта бесконечная повторяемость одной и той же геометрической фигуры создает чувство ритма и гармонии, которое неосознанно фиксируется нашим разумом. Пентаграмма вызывала особое восхищение у пифагорейцев и считалась их главным опознавательным знаком. Здание военного ведомства США имеет форму пентаграммы и получило название «Пентагон», что значит правильный пятиугольник.

Изучение пентаграммы должно сопровождаться примерами «пентагональной» симметрии в Природе (морские звезды, морские ежи, цветы). Пятилепестковыми являются цветы кувшинки, шиповника, боярышника, гвоздики, груши, черемухи, яблони, земляники и многих других цветков. Ниже приведены примеры живых структур, основанных на «пентагональной» симметрии.

а)

б)

в)

г)

Примеры пентагональной симметрии в природе: (а) китайская роза; (б) яблоко в разрезе; (в) морская звезда; (г) кактус

Прямо на уроке учитель может провести эксперимент, который сразу же заинтригует учащихся. Для этого достаточно острым ножом разрезать яблоко попрек и продемонстрировать великолепную пентаграмму в результате такого сечения.

Ряды Фибоначчи. Изложение этого материала необходимо начинать с «задачи о размножении кроликов», придуманной итальянским математиком Леонардо из Пизы по прозвищу Фибоначчи. Принцип построения этого ряда настолько прост, что он не вызовет никаких затруднений у школьников. Главным свойством этого ряда является его связь с золотой пропорцией, задаваемая (4). Объясняя свойство (4), уместно рассказать о гениальном астрономе Иоганне Кеплере, который это свойство вывел. При изучении математических свойств чисел Фибоначчи, мы не можем пройти мимо «Формулы Кассини» (6). При этом уместно рассказать и о самом Кассини – выдающемся астрономе 17-го века, именем которого названы многие астрономические объекты: «Кратер Кассини» на Луне, «Кратер Кассини» на Марсе, «Щель Кассини» — промежуток в кольцах Сатурна, «Законы Кассини» — три открытые Кассини законы движения Луны. Именем Кассини-Гюйгенса назван также космический аппарат, созданный совместно НАСА, Европейским космическим агентством и Итальянским космическим агентством, целью которого является изучение планеты Сатурн и её колец и спутников.

Изучение чисел Фибоначчи должно сопровождаться рассказом о «законе филллотаксиса», который лежит в основе формообразования многих ботанических объектов. Оказывается, что числа Фибоначчи в буквальном смысле лежат на поверхности многих ботанических объектов. Если взять, например, сосновую шишку и подсчитать число левых и правых спиралей на ее поверхности, то мы обнаружим их отношение равно одной из дробей последовательности (4), которая изучалась Кеплером. Последовательность (4) и задает важный числовой закон Природы – «Закон филлотаксиса», в соответствии с которым осуществляется формообразование большинства живых структур Природы.

а)

б)

в)

г)