11. «Золотые» матрицы и криптография

«Золотые» матрицы

Представим матрицу (112) в виде двух матриц, задаваемых для четных (n=2k) и нечетных (n=2k+1) значений степени n:

(121)

(122)

Используя соотношение (29), мы можем записать матрицы (121), (122) в терминах симметричных гиперболических функций Фибоначчи (27):

(123)

(124)

где k – дискретная переменная, k=0,  1,  2,  3, ….

Если теперь заменить дискретную переменную k в матрицах (123), (124) непрерывной переменной x, то мы придем к двум необычным матрицам, которые являются функциями от переменной x:

(125)

(126)

Ясно, что матрицы (125), (126) являются обобщением Q-матрицы (112) на непрерывную область. Они имеют ряд необычных математических свойств. Например, для матрица (125) принимает следующую форму:

(127)

Невозможно вообразить, что означает «корень квадратный из Q-матрицы», но именно такая «фибоначчивая фантазия» вытекает из выражения (127)!

Для вычисления детерминантов матриц (125), (126) мы можем воспользоваться следующими свойствами симметричных гиперболических функций Фибоначчи, доказанными в [49]:

[sFs(x)]2 - cFs(x+1)сFs(x-1) = -1

(128)

[cFs(x)]2 - sFs(x+1)sFs(x-1) = 1

(129)

Если мы теперь вычислим детерминанты матриц (125), (126), то с учетом (128) и (129), мы придем к весьма необычным математическим тождествам для матриц (128), (129), которые справедливы для любого значения непрерывной переменной x:

Det Q2x = 1

(130)

Det Q2x+1 = - 1

(131)

Вновь обращаясь к «формуле Кассини», задаваемой (114), мы приходим к неожиданному заключению, что необычные формулы (130), (131) являются ни чем иным, как обобщением «формулы Кассини» (114) на непрерывную область!

«Золотая» криптография

Можно предложить следующий метод шифрации-дешифрации, основанный на использовании «золотых» матриц (125), (126).

Шифрация	Дешифрация
M Q2x = E1(x)	E1(x) Q-2x = M
M Q2x+1 = E2(x)	E2(x) Q-2x+1 = M

Здесь M – исходная матрица размером 2 2, представляющая собой исходное сообщение, подлежащее шифрации; E₁(x), E₂(x) – кодовые матрицы; Q^2x, Q^2x+1 – кодирующие матрицы, представляющие собой «золотые» матрицы (125), (126) соответственно. Мы можем использовать непрерывную переменную x в качестве секретного ключа. Это означает, что в зависимости от значения x существует бесконечное число вариантов преобразования исходной матрицы M в кодовое (зашифрованное) сообщение E(x). Это обстоятельство может быть использовано в криптографии, то есть, рассматриваемый метод шифрации-дешифрации может рассматриваться как новый криптографический метод. Заметим, что элементы кодовой матрицы E(x) для данного случая уже не являются целыми числами. Это означает, что при практической реализации элементы кодовой матрицы E(x) будут задаваться с некоторой погрешностью, и поэтому дешифрация кодовой матрицы также будет осуществляться с некоторой погрешностью. Это замечание ограничивает область применения предлагаемого метода криптографии: он применим для обеспечения криптографической защиты «цифровых сигналов», где наличие незначительной «погрешности» не влияет существенно на качество передачи информационного сообщения. Примерами таких систем могут быть цифровые системы связи непрерывных сигналов (цифровая телефония, цифровое телевидение, цифровые измерительные системы и т.д.).

Вычислим теперь детерминанты кодовых матриц E₁(x), E₂(x):

Det E1(x) = Det M Det Q2x

(132)

Det E2(x) = Det M Det Q2x+1

(133)

Используя тождества (130), (131), мы можем записать выражения (132), (133) в следующем виде:

Det E1(x) = Det M

(134)

Det E2(x) = — Det M

(135)

Мы можем рассматривать тождества (134), (135) как основные контрольные соотношения для «золотого» криптографического метода.

Таким образом, криптографический метод, основанный на «золотых» матрицах, позволяет решить одновременно две проблемы, возникающие в информационных системах:

(1) защита сообщения от «хакеров», что достигается с помощью использования переменной x в качестве криптографического ключа;

(2) защита сообщения от «помех» в канале связи, что достигается с использованием «контрольных соотношений» (134), (135). Это дает нам основание высказать предположение, что метод «золотой» криптографии может быть использован для создания супернадежных криптосистем специального назначения.