4. Уникальные математические свойства Золотой Пропорции

Как известно, золотая пропорция  = является положительным корнем следующего квадратного уравнения:

x2 = x + 1

(13)

Заметим, что очень часто золотую пропорцию обозначают также греческой буквой  (число PHI). Эта буква является первой буквой в имени знаменитого греческого скульптора Фидия (Phidius), который широко использовал золотое сечение в своих скульптурных произведениях.

Если корень  подставить вместо x в уравнение (1.2), то мы получим следующее замечательное тождество для золотой пропорции:

 2 =  + 1.

(14)

Если все члены тождества (14) разделить на , то мы придем к следующему выражению для :

(15)

которое может быть представлено и в следующем виде:

(16)

Если в правую часть выражения (1.4) вместо  подставить его значение, задаваемое тем же выражением (1.4), то мы придем к представлению  в виде следующей «многоэтажной» дроби:

.

Если продолжить такую подстановку в правой части бесконечное число раз, то в результате получим «многоэтажную» дробь с бесконечным количеством «этажей»:

(17)

Представление (17) в математике называется непрерывной или цепной дробью.

Рассмотрим теперь еще раз тождество (14). Если взять корень квадратный из правой и левой частей тождества (14), то получим следующее выражение для :

(18)

Если теперь в правой части выражения (18) вместо  подставить его же выражение, задаваемое (18), то получим следующее:

(19)

Если в правой части тождества (19) опять подставить выражение (18) вместо  и повторить эту операцию бесконечное число раз, то мы получим еще одно замечательное представление золотой пропорции в «радикалах»:

.

(20)

Каждый математик интуитивно стремится выразить свои математические результаты в наиболее простой, компактной форме. И если такую форму удается найти, то это доставляет математику «эстетическое наслаждение». В этом отношении (стремление к «эстетическому» выражению математических результатов) математическое творчество подобно творчеству композитора или поэта, главной задачей которых является получение совершенных музыкальных или поэтических форм, доставляющих «эстетическое удовольствие». Заметим, что формулы (17) и (20) доставляют нам «эстетическое наслаждение» и вызывают неосознанное чувство ритма и гармонии, когда мы начинаем задумываться над бесконечной повторяемостью одних и тех же простых математических элементов в формулах для , задаваемых (17), (20).

Если теперь взять за основу тождество (14) и затем умножить многократно члены тождества (14) на  , а затем разделить многократно члены тождества (14) на  и устремить этот процесс до бесконечности, то мы придем к следующему изящному тождеству, связывающему степени золотой пропорции:

 n =  n-1 +  n-2,

(21)

где число n является целым и пробегает значения в пределах от + до -, то есть n = 0,  1,  2,  3, ….

Тождество (21) словесно можно выразить следующим образом: «Любая целая степень золотой пропорции равна сумме двух предыдущих». Оно часто называется «свойством аддитивности» золотой пропорции.

Но с другой стороны, любая степень золотой пропорции связана с предыдущей степенью «мультипликативным соотношением», то есть,

 n =    n-1</SUP< TD>

(22)

>.

Это свойство называют «свойством мультипликативности» золотой пропорции.

Рассмотрим теперь последовательность степеней «золотой пропорции», то есть, {...  ^--n,

face="Symbol">t -(n-1), …,  -2,  -1, 0 = 1,  1,  2, …,  n-1,  n,

(23)

…}.

Последовательность (23) обладает весьма интересным математическим свойством. С одной стороны, последовательность (23) является геометрической прогрессией, основанной на свойстве (22), то есть в ней каждый член равен предыдущему, умноженному на постоянное для данной прогрессии число  , называемое знаменателем геометрической прогрессии.

С другой стороны, в соответствии с (21) последовательность (23) обладает «свойством аддитивности», так как каждое число ряда (23) есть сумма двух предыдущих. Заметим, что свойство (21) характерно только для геометрической прогрессии со знаменателем  , и такая геометрическая прогрессия называется золотой прогрессией.

Поскольку каждой геометрической прогрессии типа (23) в геометрии соответствует некоторая логарифмическая спираль, то, по мнению многих исследователей, свойство (21) выделяет золотую прогрессию (23) среди других геометрических прогрессий и является причиной широкого распространения именно «золотой» логарифмической спирали в формах и структурах живой природы.