6. Математическая теория гармонии

Математический анализ понятия «Гармония»

Как известно, математика изучает количественные аспекты того или иного явления. И начиная математический анализ понятия гармонии, мы должны сконцентрировать наше внимание на количественных аспектах этого понятия. Что такое гармония с количественной точки зрения? Чтобы ответить на это вопрос, мы начнем с выяснения исходного значения слова «Гармония». Как известно, слово «Гармония» имеет греческое происхождение. При этом греческое слово        означает связь, согласие.

Существуют различные определения понятия «Гармония». Однако большинство из них сводятся к приведенному выше определению, взятому из Большой Советской Энциклопедии (см. выше).

Анализ значения слова «Гармония» и его определения показывает, что наиболее важными, «ключевыми» понятиями, которые лежат в основе этого понятия, являются следующие: связь, согласие, комбинация, упорядоченность.

Возникает вопрос: какой раздел математики изучает подобные понятия? Поиски ответа на этот вопрос приводят нас к комбинаторному анализу. Как известно, «комбинаторика занимается различного вида сочетаниями (соединениями), которые можно образовать из элементов некоторого конечного множества. Термин «комбинаторика» происходит от латинского слова combinary – сочетать, соединять».

Из этого рассмотрения вытекает, что латинское слово combinary и греческое слово        имеют близкие значения и могут быть переведены как комбинация илисоединение. Это дает нам право выдвинуть гипотезу, что именно «Законы комбинаторного анализа» могут быть использованы для создания «математической теории гармонии».

Основные понятия комбинаторики

Начнем с изложения основных понятий комбинаторики. Как известно, комбинаторика занимается различного вида сочетаниями, которые можно образовать из элементов некоторого множества. Некоторые элементы комбинаторики были известны в Индии еще во 2-м веке до н.э. Индусы умели вычислять числа, которые мы обозначаем , то есть сочетания из n элементов, взятых по m, и знали формулу

+ + … + = 2n.

(34)

Предполагают, что индусские математики изучали соединения в связи с применением их в поэтике, науке о структуре стихов и поэтических произведений, например, в связи с подсчетом возможных сочетаний ударных (долгих) и безударных (кратких) слогов стопы, состоящей из n слогов.

Термин «комбинаторика» стал употребляться после опубликования Лейбницем в 1666 году работы «Рассуждение о комбинаторном искусстве», в которой впервые дано научное обоснование теории сочетаний и перестановок. Изучением «размещений» впервые занимался Якоб Бернулли во второй части своей знаменитой книги «Ars conectandi» («Искусство предугадывания»), опубликованной в 1713 г. Он же ввел соответствующий термин и употреблял в нашем смысле также термин «перестановка». Термин же «сочетание» ввел Б. Паскаль в своем «Трактате об арифметическом треугольнике» (1665 г.).

Бином Ньютона

Слово «бином» (от латинского bis – дважды и греческого «номос» — член) означает «двучлен».

Запишем следующие выражения:

(a+b)0 = 1 (a+b)1 = 1a + 1b (a+b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2 (a+b)3 = 1a3 + 3a2b + 3ab2 + 1b2

(35)

Заметим, что первые два выражения из (35) тривиальны, а остальные два нам хорошо известны из курса алгебры средней школы.

Возникает вопрос: чему равно (a+b)ⁿ? Ответ на этот вопрос дает знаменитая математическая формула, известная под названием «Бинома Ньютона», представляющая разложение целой положительной степени n бинома a+b:

(a+b)n = an + an-1b + an-2b2 + … + an-kbk + … + abn-1 + bn.

(36)

В этой формуле появляются любопытные коэффициенты , которые называются биномиальными коэффициентами.

Заметим, что в названии «Бином Ньютона» заключена историческая несправедливость, так как эта формула была известна задолго до Ньютона многим ученым разных стран, в том числе Ал-Каши, Тарталье, Ферма, Паскалю. Заслуга Ньютона состоит в том, что он распространил ее на любое действительное число n, то есть он показал, что формула (36) верна и тогда, когда n является рациональным или иррациональным, положительным или отрицательным.

Формулы (35) являются частными случаями общей формулы (36). В частности, при n=1 формула (36) принимает вид:

(a+b)¹ = a + b = 1a + 1b,

откуда вытекает, что =1 и =1.

При n=2 формула (36) принимает вид:

(a+b)² = a² + ab + b² = 1a² + 2ab + 1b²,

откуда вытекает, что = 1, = 2, = 1.

Таким образом, разложение (36) легко получить, если мы научимся вычислять биномиальные коэффициенты .

Треугольник Паскаля

Ответ на вопрос, как найти значение для любых целых неотрицательных n и k еще в 17 в. дал знаменитый французский физик и математик Блез Паскаль (1623-1662). Паскаль обнаружил, что биномиальные коэффициенты обладают следующими замечательными свойствами:

= = 1; = ;

(37)

= + .

(38)

Последнее свойство (38) называется также законом Паскаля. Именно используя соотношение (38), Паскаль предложил изящный способ вычисления биномиальных коэффициентов, расположив их в виде треугольной таблицы чисел, называемой треугольником Паскаля. Суть этого способа состоит в следующем. Рассмотрим бесконечную таблицу чисел, построенных по «закону Паскаля»