Тема 2.4 Геометрические характеристики

плоских сечений

назад в содержание

Моменты инерции сечений

При расчетах на прочность и жесткость при растяжении (сжатии), когда напряжения по сечению распределяются равномерно, геометрической характеристикой сечения является площадь А. Форма сечения при этом значения не имеет.

В случае неравномерного распределения напряжений по сечению при кручении и изгибе, прочность и жесткость зависят от более сложной геометрической характеристики: при кручении – от полярного момента инерции сечения, при изгибе – от осевого момента инерции сечения.

Нетрудно убедиться, что от положения одного и того же сечения балки при изгибе (рисунок 136) существенно зависит прочность и жесткость балки.

Рисунок 136 Рисунок 137

• Полярным моментом инерции сечения называется взятая по всей площади сечения А сумма произведений элементарных площадок ΔА на квадраты расстояний до начала координат (полюса)

[мм⁴] (82)

• Моментом инерции сечения относительно оси (осевым моментом инерции) называется взятая по всей площади сечения А сумма произведений элементарных площадок ΔА на квадраты расстояний до этой оси

[мм⁴] (83)

• Центробежным моментом инерции сечения называется взятая по всей площади сечения А сумма произведений элементарных площадок ΔА на произведение координат этих площадок

[мм⁴] (84)

Моменты инерции J_p, J_x, J_y всегда положительные, а J_xy может иметь любой знак.

Оси, относительно которых J_xy = 0, называются главными осями. Они проходят через центр тяжести сечения. Моменты инерции относительно этих осей называются главными моментами инерции сечения J_x, J_y. Их и определяют при расчетах на прочность и жесткость при изгибе.

• М омент инерции сечения относительно любой оси равен моменту инерции относительно параллельной ей центральной оси плюс произведение площади сечения на квадрат расстояния между осями

(85)

• Осевые моменты инерции простых сечений (без вывода) приведены в таблице 14.

Рисунок 138

Таблица 14

Сечение	Формула
1 Круг
2 Кольцо
3 Прямоугольник
4 Прокатные профили: Двутавр, швеллер, уголок	Jx и Jy определяются по таблицам ГОСТ 1 см4 = 104 мм4

1. Определение моментов инерции сложных сечений,

имеющих ось симметрии

• Момент инерции сложного сечения относительно некоторой оси равен сумме моментов инерции составных частей сечения относительно этой оси.

Пример 36. Определить главные моменты инерции сечения (рисунок 139).

Решение

Определяем координаты центра тяжести сечения С. Так как сечение имеет ось симметрии и на ней расположен центр тяжести, то необходимо определить только одну координату у_С . Проводим вспомогательную ось перпендикулярную оси симметрии, являющейся главной осью инерции у. Разбиваем сечение на два прямоугольника. Ордината центра тяжести сечения

Рисунок 139

.

Проводим главную центральную ось сечения х и определяем по формуле (85) моменты инерции прямоугольников относительно этой оси

;

.

Аналогично определяем моменты инерции прямоугольников относительно оси у (заметим, что ось у – главная центральная ось обоих прямоугольников, так как является их осью симметрии)

; .

Вычисляем главные центральные моменты инерции сечения:

;

.

Пример 37. Определить главные центральные моменты инерции сечения, составленного из двух швеллеров № 18 (рисунок 141).

Р ешение

1. Сечение, составленное из профилей двух швеллеров, имеет две оси симметрии, с которыми и совместим главные оси х и у.

2. Ось х является главной центральной осью каждого из двух швеллеров. Поэтому для определения главного центрального момента инерции сечения относительно этой оси достаточно сложить моменты каждого из профилей относительно той же оси.

Рисунок 140 Рисунок 141 .

По таблицам ГОСТ 8240-89 находим J_Ix = J_2x = 1090 см⁴.

Момент инерции всего сечения относительно оси х

J_x = J_Ix + J_2x = 2 · 1090 = 2180 см⁴.

3. Главная центральная ось сечения у параллельна осям С₁у₁ и С₂у₂ (рисунок 141) – главным центральным осям каждого из профилей 1 и 2. Для определения главного момента инерции сечения воспользуемся формулой (85):

,

где (по ГОСТ 8240-89) J_Iу = J_2у = 86 см⁴; расстояние между осями а₁ = а₂ = b – z₀ = = 7 – 1,94 = 5,06 см; площади профилей А₁ = А₂ = 20,7 см². Следовательно,

.

4. Главные центральные моменты инерции сечения

J_max = J_x = 2180 см⁴ и .

Реши самостоятельно!

77. Вычислите главные центральные моменты инерции сечения, составленного их двух швеллеров № 20 (рисунок 142).

Рисунок 142