Применение правила Лопиталя для раскрытия неопределенностей типа степени

Если при нахождении пределов имеет место неопределенность типа степени вида , то ее необходимо привести к неопределенности типа частного. Пусть имеет место неопределенность типа степени при нахождении предела . Используем определение логарифма, преобразуем данный предел

.

Так как показательная функция является непрерывной, то можно перейти к пределу в показателе степени, т. е.

.

При нахождении предела неопределенность имеет тип произведения, которую необходимо свести к неопределенности типа частного.

27.Формула Тейлора. Остаточный член в форме Лагранжа.

Теорема.Если в некоторой окрестности точки х = а функция имеет конечные производные до (n+1)-го порядка включительно, то для любой точки этой окрестности справедлива формула

,

где .

Формула Тейлора позволяет записать функцию в окрестности некоторой точки в виде многочлена по степеням . В практических задачах часто требуется записать это разложение по степеням х, т. е. в окрестности точки х = 0.   Остаточный член формулы Тейлора     в форме Лагранжа:

28.Формула Маклорена, её остаточный член. Разложение элементарных функций.

Если а = 0, то формула Тейлора принимает вид

,

где .

Данный вид формулы называется формулой Маклорена. В этом случае остаточный член (последнее слагаемое в формуле) в форме Лагранжа имеет вид , а в форме Пеано .

Разложение основных элементарных функций по формуле Маклорена

Найдем производные функций и их значения в начале координат (при х = 0), запишем разложения следующих функций: .

1. .

.

2.
.
3.
.
4.						.
	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .				. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.