30.Монотонные функции. Необходимый и достаточный признаки монотонности функции.
Функция
называется монотонно возрастающей
(убывающей) на интервале (a,
b),
если
,
(
).
Монотонно возрастающая
Монотонно убывающая
Достаточный
признак монотонности функции
Пусть
определена и непрерывна на
и дифференцируема на
,
тогда для того чтобы
была монотонно возрастающей(убывающей),
достаточно, чтобы выполнялось условие:
для
(
).
Доказательство:
Для
и
,
т.
, т.ч.
Если
Если
Необходимый признак монотонности функции. Если функция монотонно возрастает (убывает) на интервале (a, b), то ее производная в любой точке этого интервала неотрицательная (неположительная).
31.Локальный экстремум функции. Необходимый признак экстремума функции.
Точка
является точкой локального
экстремума,
если
такая
для
(
,
)
выполняется условие
=max
=min
Необходимый признак экстремума функции
Для
того чтобы функция
имела в точке
локальный экстремум-max
или min,
необходимо, чтобы
=0
Доказательство:
Применим
теорему Ферма для -окрестности
точки
,
тогда
=0
32.Первый и второй достаточные признаки экстремума функции.
Первый достаточный признак.
Пусть
функция y=f’(x)
дифференцируема в точке
,
а в самой точке
непрерывна
Тогда:
если в точке функция непрерывна и в ней производная меняет знак с плюса на минус, то - точка максимума;
если в точке функция непрерывна и в ней производная меняет знак с минуса на плюс, то - точка минимума.
Второй достаточный признак.
Пусть 
,
если
,
то
-
точка минимума;если
,
то
-
точка максимума.
33.Достаточный признак выпуклости, вогнутости графика функции.
Рис. 36 |
График функции называется выпуклым (вогнутым) вверх на некотором интервале, если он находится ниже (выше) касательной к графику функции, проведенной в любой точке этого интервала (рис. 36). |
Достаточный признак выпуклости, вогнутости графика функции
Если функция
является непрерывной и дважды
дифференцируемой на интервале
и производная второго порядка в любой
точке этого интервала положительная
(отрицательная
),
то график функции является вогнутым
(выпуклым) на этом интервале.
34.Необходимый и достаточный признаки существования точки перегиба. Необходимый признак существования точки перегиба
Теорема.
Если в точке
график
имеет точку перегиба, то
и выполняется условие
=0.
Достаточный признак существования точки перегиба
Теорема.
Если в точке
изменяет знак, то
-точка
перегиба.