23.Теорема Ролля, её геометрический смысл, примеры её использования.

Если функция f(x) непрерывна на замкнутом интервале [а, b], имеет внутри интервала производную и если f(a) = f(b),

то внутри интервала [а, b] найдется хотя бы одно такое значение x₀ (a < x₀ < b), что

f ' (x₀) = 0.

Геометрический смысл: на (a;b) найдется точка, в которой касательная к кривой будет горизонтальна ( т.е угловой коэффициент обратится в нуль)

Доказательство: согласно теореме Вейерштрасса функция достигает своего наибольшего (M) и наименьшего значения (m):

1. M = m, тогда f(x) = const

2. M ≠ m, тогда хотя бы одно значение достигается внутри (a;b). Тогда f’(x₀) = 0

Пример:

y= x²+7x+3 [-5;-2]

1. Определена на [-5;-2], т.е любому x₀ ε [-5;-2], Ǝ f(x_{0) =} x²+7x+3

2. Непрерывна на [-5;-2], т.е Ǝ lim f(x) = f(x₀₎

x→ x₀

3. y’ = 2x+7, т.е Ǝ y’(x₀) = 2x₀+7

4. f(-5) = -7; f(-2) = - 7. Следовательно, f(-5) = f(-2)

   • теорема Ролля выполнена

5. 2x+7 = 0; x = - 3.5 ε(-5;-2).

24.Теорема Лагранжа о конечном приращении функции, её геометрический смысл.

Если функция у = f (х) непрерывна на отрезке [а ; b] и  дифференцируема в интервале (а ; b), то в этом интервале найдется такая точка C, что   

Геометрический смысл: на графике функции у = f (х)  между точками А и В найдется такая внутренняя точка С, что касательная к графику в точке С параллельна хорде АВ.

Доказательство:

Введем функцию F(x) = f(x) – * (x-a).  Для нее выполнены условия теоремы Ролля: на концах отрезка ее значения равны. Воспользовавшись упомянутой теоремой, получим, что существует точка C, в которой производная функции F равна нулю.

F’(c) – = 0 ‖→ = f’(c)

25.Теорема Коши о дифференцируемых функциях.

Теорема Коши. Если функции y = f(x) и y = g(x) непрерывные на отрезке , дифференцируемые в каждой внутренней точке этого отрезка и при этом производная y = g(x) ни в одной из этих точек не обращается в нуль ( ), то найдется такая внутренняя точка , что

.

P.S. мне кажется ,все понятно и достаточно, но если нет то...

Пусть функции   и   непрерывны на   и дифференцируемы на  ,   на  . Тогда существует хотя бы одна внутренняя точка  , для которой выполняется равенство  .

Доказательство:

Введем функцию  . (непрерывная на   и дифференцируемая на  ).

Функция   удовлетворяет Теореме Коши   существует  , для которой:  ,  , ,

26.Правило Лопиталя, его использование для раскрытия неопределенностей при нахожде­нии пределов.

Теорема.Если в некоторой окрестности точки функции y = f(x) и y = g(x) определены и дифференцируемые, причем , пределы функций при равны нулю, т. е. , то предел отношения этих функций равняется пределу отношения их производных

,

если этот предел существует (конечный или бесконечный).