41.Достаточные условия дифференцируемости функции нескольких переменных.
Теорема.
Для
того, чтобы функция
была дифференцируемой в точке М
(x,
y),
она должна быть непрерывной и иметь
непрерывные частные производные в этой
точке.
Доказательство.
Запишем полное приращение функции
.
В
правой части прибавим и вычтем
,
получим
.
По теореме Лагранжа о конечном приращении
,
где
,
,
где
.
Тогда
.
Так как частные производные по условию теоремы непрерывны, то
,
.
Используя теорему о представлении функции в виде суммы предела и бесконечно малой функции, запишем
,
,
где
бесконечно малые функции при
.
Учитывая эти выражения, получим
или
.
В соответствии с определением дифференцируемости функции это означает, что функция является дифференцируемой.