35.Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построения графика.

Асимптота – это прямая, к которой бесконечно близко приближается график функции.

На плоскости асимптоты классифицируют по их естественному расположению:

1) Вертикальные асимптоты. Прямые, параллельные оси Оу вида x=const . Это значения аргумента функции, которые не входят в область определения функции.

2) Наклонные асимптоты y = Kx+b, где

= , b=

3)Горизонтальные асимптоты. Не бывает вместе горизонтальных и наклонных асимптот.

Формула нахождения горизонтальной асимптоты y=

Общая схема исследования функции и построения графика.

1. Найти область определения функции D(y)

2. Найти множество значений функции E(y)

3. Найти нули функции f(x) = 0

4. Найти асимптоты функции (см. выше)

5. Построить в системе координат нули функции и асимптоты функции

6. Найти точки экстремума функции, а именно: Найти первую производную функции и приравнять ее к нулю f’(x) = 0

7. Найти значения функции в точках экстремума и построить их в системе координат.

8. Определить монотонность функции ( по знакам производной)

9)Найти точки перегиба : f’’(x) = 0. В этих точках функция меняет выпуклость.

10) Найти значение функции в точках перегиба. Построить эти точки в сист. координат.

11) Завершить построение графика функции.

36.Функция нескольких переменных, се определение, линии уровня и поверхности уровня.

Определение. Если каждой паре (x,y) значений двух независимых друг от друга, переменных величин x и y, из некоторой области их изменения D, соответствует определенное значение величины z, то говорят, что z - функция двух независимых переменных x и y, определенная в области D.

Функция нескольких переменных может задаваться явным аналитическим способом, а также неявным способом.

Совокупность значений x, y, n , при которых определена функция называется областью определения или областью существования функции.

Линию, ограничивающую данную область будем называть границей области. Точки области, не лежащие на границе, -внутренние точки области.

Линии уровня функции нескольких переменных.

Определение. Линией уровня функции z = F(x,y,n) называется множество таких точек в области определения, для которых значение функции постоянно и равно C, C= const (т.е. F(x, y, n) = C).

Поверхностью уровня функции нескольких переменных называется геометрическое место точек в пространстве, в которых функция z (x, y, n) принимает одно и то же значение. Уравнение поверхностей уровня имеет вид: z(x, y, n) = C

37.Определение предела функции нескольких переменных по Коши. Свойства пределов.

Определение. Число А называется пределом функции при и , если для 0 ( 0, т.ч. для всех и выполняется условие

Свойства пределов двух переменных: если =A, =B, тогда

1. =A B 2. =A B 3. = , 0 в окрестности точки , B 0