Ранговый коэффициент корреляции Кендалла
Другим широко используемым ранговым коэффициентом является ранговый коэффициент корреляции Кендалла, определяемый соотношением
,
(4.50)
где (X,Y) – минимальное число обменов соседних элементов последовательности X, необходимое для приведения ее к упорядочению Y.
Из (4.6) сразу следует,
что при совпадающих ранжировках X
и Y =1
(т.к. (X,Y)=0),
а при противоположных – =–1
(т.к. при X=n–Y+1
).
Можно показать, что во всех остальных
случаях
.
Вычисление связано с необходимостью подсчета величины и, следовательно, является более трудоемким, чем вычисление коэффициента Спирмена . Однако, во-первых, коэффициент Кендалла обладает некоторыми преимуществами по сравнению с коэффициентом Спирмена, главные из них: а) относительно большая продвинутость в исследовании его статистических свойств и, в частности, его выборочного распределения; б) возможность его использования и в частной («очищенной») корреляции рангов; в) большие удобства его пересчета при добавлении к n статистически обследованным объектам новых, т.е. при удлинении анализируемых ранжировок.
Во-вторых, можно воспользоваться рекомендациями, упрощающими подсчет числа как при ручном, так и при машинном счете. Так, при ручном счете оказывается полезным известный факт тождественного совпадения величины (X,Y) и I(X,Y) – числа инверсий, т.е. числа расположенных в неодинаковом порядке пар элементов последовательностей X и Y.
Для удобства подсчета инверсий ранжируем значения первой последовательности в порядке возрастания. Значения второй последовательности – в порядке, соответствующим значениям первой последовательности. Для каждого ранга второй последовательности определяем число следующих за ним рангов Ri, меньших его величин. Суммарную величину обозначим через
.
Выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла определится формулой
.
(4.51)
Убедимся, что в случае «полной прямой зависимости» признаков:
правее yi нет рангов, меньших yi; поэтому все Ri=0. Тогда R=0 и, следовательно, =1. В случае «обратной зависимости» признаков:
правее
yi
имеется (n–1) рангов,
меньших yi;
поэтому R1=n–1.
Очевидно, что R2=n–2,
R3=n–3,
...,
.
Следовательно
.
Подставив это значение в (4.7), получим =–1.
Найдем ранговые коэффициенты Кендалла в примерах 4.7 и 4.8.
Для примера 4.7:
Проекты |
Ранги |
Ri |
|
R1 |
R2 |
||
I |
1 |
2 |
1 |
II |
2 |
3 |
1 |
III |
3 |
1 |
0 |
IV |
4 |
4 |
0 |
V |
5 |
6 |
1 |
VI |
6 |
5 |
0 |
VII |
7 |
9 |
2 |
VIII |
8 |
7 |
0 |
IX |
9 |
8 |
0 |
X |
10 |
10 |
0 |
Итого |
|
|
5 |
Вычисления по формуле (4.7) дают:
(напомним, что коэффициент Спирмена в этом примере был равным 0,915).
Для примера 4.8:
№ банка |
Ранги |
Ri |
|
Rx |
Ry |
||
9 |
1 |
1 |
0 |
6 |
2 |
8 |
6 |
5 |
3 |
2 |
0 |
8 |
4 |
4 |
1 |
4 |
5 |
7 |
3 |
3 |
6 |
5 |
1 |
7 |
7 |
3 |
0 |
2 |
8 |
9 |
1 |
10 |
9 |
6 |
0 |
1 |
10 |
10 |
0 |
Итого |
|
|
12 |
Вычисления по формуле (4.51) дают:
(напомним, что коэффициент Спирмена в этом примере был равным 0,588).
Если совокупность значений по исследуемому признаку содержит связанные ранги, то коэффициент корреляции вычисляется по формуле
,
(4.52)
где
,
(4.53)
tj – число одинаковых рангов в j-м ряду.
Для примера 4.7:
Участники |
А |
Б |
В |
Г |
Д |
Е |
Ж |
З |
И |
К |
1-й судья |
1,5 |
1,5 |
3 |
4 |
6 |
6 |
6 |
8 |
9,5 |
9,5 |
2-й судья |
1 |
2 |
4 |
4 |
4 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
Установить, насколько объективны оценки судей, т.е. насколько тесна связь между оценками.
Участники |
Ранги |
Ri |
|
Rx |
Ry |
||
А |
1,5 |
1 |
0 |
Б |
1,5 |
2 |
0 |
В |
3 |
4 |
0 |
Г |
4 |
4 |
0 |
Д |
6 |
4 |
0 |
Е |
6 |
6 |
0 |
Ж |
6 |
7 |
0 |
З |
8 |
8 |
0 |
И |
9,5 |
9 |
0 |
К |
9,5 |
10 |
0 |
Итого |
|
|
0 |
Вычисления по формуле (4.51) дают:
.
Найдем поправочные коэффициенты Ux и Uy. При вычислении Ux имеем: А и Б – два объединенных ранга, Д, Е, Ж – три объединенных ранга и И, К – два объединенных ранга. Таким образом,
.
Аналогично вычисляем Uy:
.
В результате получаем
.
(напомним, что коэффициент Спирмена в этом примере был равным 0,956).
ЛЕКЦИЯ 3 59