Значимость коэффициента корреляции
Для проведения полноценного статистического анализа свойств генеральной совокупности, основанных на коэффициенте корреляции, необходимо знать ее статистические свойства. Это позволит судить о точности приближения (4.24) к неизвестному истинному значению коэффициента корреляции , строить статистические критерии для проверки различных гипотез о численных значениях анализируемого коэффициента корреляции.
В частности, какую величину выборочного коэффициента корреляции следует считать достаточной для статистически обоснованного вывода о наличии корреляционной связи между исследуемыми переменными? Ведь надежность статистических характеристик, в том числе и r, ослабевает с уменьшением объема соответствующей выборки, а потому принципиально возможны случаи, когда отклонения от нуля полученной величины выборочного коэффициента корреляции r оказывается статистически незначимым, т.е. целиком обусловленным случайными колебаниями выборки, на основании которой он вычислен. Ответить на этот вопрос позволяет знание закона распределения вероятностей r.
В случае совместной нормальной распределенности исследуемых переменных и при достаточно большом объеме выборки n (а именно при n>200) распределение r можно считать приближенно нормальным со средним, равным своему теоретическому значению r, и дисперсией
.
(4.26)
Однако следует учитывать, что при малых значениях n и r, близких к 1, это приближение оказывается очень грубым. Кроме того, при малых n следует принимать во внимание, что величина r является смещенной оценкой своего теоретического значения , в частности
.
(4.27)
В
качестве критерия проверки нулевой
гипотезы
против альтернативной
используется величина
.
(4.28)
Эта
величина при относительно хорошей
степени приближения к нормальному
распределению и при малых значениях
|r| приблизительно
распределена по закону распределения
Стьюдента с =n–2
степенями свободы. Поэтому, если окажется,
что
,
то нулевая гипотеза об отсутствии
корреляционной связи между X
и Y отвергается с
вероятностью ошибиться, равной .
Пример 4.2. Проверить значимость коэффициентов корреляции в примере 4.1 на уровне значимости =0,05.
Решение. Для примера 4.1 n=7 и r=0,9389. Вычислим наблюдаемое и критическое значения критерия Стьюдента
и
.
Поскольку
,
то коэффициент корреляции существенно
отличается от нуля.
Пример 4.3. Взяты 10 наблюдений показателей инфляции и безработицы в США за 1931-1940 годы, для них рассчитана выборочный коэффициент корреляции r=–0,227. Связь отрицательная, что соответствует теории (кривая Филлипса), но значима ли она? Проверить гипотезу H0:=0 о равенстве нулю истинного значения коэффициента корреляции на уровне значимости =0,05.
Решение. Вычисляем наблюдаемое и критическое значения критерия Стьюдента
и
.
Поскольку
,
то коэффициент корреляции не значимо
отличается от нуля. Следовательно, в
нашем случае не исключается, что истинное
значение коэффициента корреляции равно
нулю, т.е. на основе имеющейся выборки
нельзя делать вывод о наличии корреляционной
значимой линейной связи показателей
инфляции и безработицы в США. Нельзя,
впрочем, здесь делать вывод об отсутствии
такой связи.