Ранговый коэффициент корреляции Спирмена

Формула для коэффициента корреляции Спирмена основана на формуле парной корреляции

, (4.45)

где и – ранги i-й единицы совокупности по переменным x и y, соответственно; и – средний ранг по переменным x и y. Очевидно, что коэффициент Спирмена изменяется также как парный коэффициент корреляции, в интервале от –1 до 1.

Путем преобразований формулы (4.1) К. Спирмен еще в 1904 г. получил выражение, которое обычно используется для вычисления коэффициента корреляции Спирмена

, (4.46)

где d_i – разность рангов по переменным x и y для i-й единицы совокупности, n – число наблюдений.

Прямыми подсчетами нетрудно убедится, что для совпадающих ранжировок =1 (в этом случае все значения d равны нулю); для противоположных ранжировок =–1.

Пример 4.6. Два эксперта проранжировали 10 предложенных им проектов реорганизации НПО с точки зрения их эффективности (при заданных ресурсных ограничениях):

Проекты	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X
1-й эксперт	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2-й эксперт	2	3	1	4	6	5	9	7	8	10

Установить, насколько объективны оценки экспертов, т.е. насколько тесна связь между оценками.

Решение. Находим разность рангов

Проекты	Ранги		Разность рангов d=R1–R2
	R1	R2
I	1	2	–1	1
II	2	3	–1	1
III	3	1	2	4
IV	4	4	0	0
V	5	6	–1	1
VI	6	5	1	1
VII	7	9	–2	4
VIII	8	7	1	1
IX	9	8	1	1
X	10	10	0	0
Итого			0	14

Вычисления по формуле (4.45) дают:

,

что свидетельствует о существенной положительной ранговой связи между исследуемыми переменными. Следовательно, можно сделать вывод, что оценки, данные экспертами, объективны.

Пример 4.7. По группе акционерных коммерческих банков региона имеются следующие данные:

№ банка	Активы банка, млн руб.	Прибыль банка, млн руб.
1	866	39,6
2	328	17,8
3	207	12,7
4	185	14,9
5	109	4,0
6	104	15,5
7	327	6,4
8	113	10,1
9	91	3,4
10	849	13,4

Вычислить ранговый коэффициент корреляции Спирмена.

Решение. Для расчета коэффициента корреляции рангов предварительно выполняется ранжирование банков по уровню каждого признака:

№ банка	Активы банка, млн руб., x	Ранг по x	№ банка	Прибыль банка, млн руб., y	Ранг по y
9	91	1	9	3.4	1
6	104	2	5	4.0	2
5	109	3	7	6.4	3
8	113	4	8	10.1	4
4	185	5	3	12.7	5
3	207	6	10	13.4	6
7	327	7	4	14.9	7
2	328	8	6	15.5	8
10	849	9	2	17.8	9
1	866	10	1	39.6	10

Дальнейшие расчеты даны в таблице

№ банка	Ранги		Разность рангов d=Rx–Ry
	Rx	Ry
1	10	10	0	0
2	8	9	–1	1
3	6	5	1	1
4	5	7	–2	4
5	3	2	1	1
6	2	8	–6	36
7	7	3	4	16
8	4	4	0	0
9	1	1	0	0
10	9	6	3	9
Итого			0	68

В результате получаем

,

что свидетельствует о умеренной положительной ранговой связи между исследуемыми переменными.

Если совокупность значений по исследуемому признаку содержит связанные ранги, то коэффициент корреляции вычисляется по формуле

, (4.47)

где

, (4.48)

t_j – число одинаковых рангов в j-м ряду.

Если T_x и T_y являются небольшими относительно величинами, то можно воспользоваться приближенной формулой (а при T_x=T_y оно точное):

. (4.49)

Правда, при этом же условии, и приближенная формула (4.2) дает хорошую точность.

Пример 4.8. На соревнованиях по фигурному катанию судьи следующим образом расположили участников соревнований:

Участники	А	Б	В	Г	Д	Е	Ж	З	И	К
1-й судья	1,5	1,5	3	4	6	6	6	8	9,5	9,5
2-й судья	1	2	4	4	4	6	7	8	9	10

Установить, насколько объективны оценки судей, т.е. насколько тесна связь между оценками.

Решение. Первый судья поделил первое место между участниками А и Б. Их объединенный ранг (1+2)/2=1,5. Участники Д, Е, Ж поделили 5, 6 и 7 места. Их объединенный ранг равен 6 и т.д.

Найдем разность рангов

.

Вычислим величины T_x и T_y. При вычислении T_x имеем: А и Б – два объединенных ранга, Д, Е, Ж – три объединенных ранга и И, К – два объединенных ранга. Таким образом,

.

Аналогично вычисляем T_y:

.

В результате получаем

.

По формуле (4.45) получаем следующий результат

,

а по формуле (4.58)

.

Все эти результаты совпадают с точностью до второго знака.