4. Интервальная оценка коэффициента корреляции

Для двумерного нормального распределения генеральной совокупности коэффициент корреляции не только решает вопрос о том, зависимы признаки или нет, но и измеряет степень их связи. Поэтому в «нормальном» случае нужно уметь не только проверять гипотезу H₀:=0, но и указывать доверительные интервалы для истинного . Особенно данная задача имеет смысл в случае значимого выборочного коэффициента корреляции. Для этого нужно знать закон распределения выборочного коэффициента корреляции r не только при =0, но и при произвольном .

В общем случае закон распределения r имеет довольно сложный вид (это т.н. r-распределение). Однако при больших n и малых по абсолютному значению  выборочный коэффициент корреляции можно считать распределенным нормально с математическим ожиданием  и дисперсией

. (4.29)

Но для указанной выше цели этот факт использовать довольно трудно в связи с тем, что неизвестное значение  входит в выражение не только среднего, но и дисперсии.

При достаточно больших выборках (n50) выборочный коэффициент корреляции имеет приближенно нормальное распределение , где

. (4.30)

В этом случае доверительный интервал для , будет иметь вид

, (4.31)

где t_ находится из уравнения , (x) – функция Лапласа.

В случае небольшого объема выборки r-распределение существенно отличается от нормального. В этом случае можно использовать преобразование, предложенное Р. Фишером:

, (4.32)

где – обратная функция гиперболического тангенса. Он показал, что величина z, определенная соотношением (4.32), уже при небольших n (n10) с хорошим приближением следует нормальному распределению. При этом

, (4.33)

. (4.34)

Это позволяет построить доверительный интервал для по формуле

. (4.35)

Откуда следует, что истинное значение коэффициента корреляции  c той же доверительной вероятностью =1– заключено в пределах

. (4.36)

Здесь thz – это тангенс гиперболический от аргумента z, определяемый с помощью соотношения

.

Пример 4.4. По данным n=38 предприятий получен коэффициент корреляции r=–0,654, характеризующий тесноту связи между себестоимостью продукции (y) и производительностью труда (x). Построить интервальную оценку для , задавшись 95%-й доверительной вероятностью.

Решение. Применяя z-преобразование Фишера для найденного коэффициента корреляции, получим

.

Поскольку t_0,95=1,96, то

, .

Доверительный интервал для M(z) будет иметь вид

.

Осуществляем обратное z-преобразование по формуле (4.45):

.

Таким образом, можно утверждать, что с доверительной вероятностью =0,95 истинное значение коэффициента корреляции  между себестоимостью продукции (y) и производительностью труда (x) будет лежать в интервале от –0,8 до –0,418. 

Замечание. Величина в формуле (4.35) мала по сравнению с . Поэтому ею обычно пренебрегают, когда речь идет об оценивании  по одной выборке. Но при соединении результатов, полученных по нескольким выборкам, это слагаемое все же может оказывать влияние.