3 Лекция Типы решеток Бравэ.

Цель: Ознакомление с различными типами решеток Бравэ

1. Типы решеток Бравэ. . Симметрия.

2. Элементы симметрии и симметричные преобразования. Простые и сложные элементы симметрии..

3. Распределение классов по сингониям.

4. Общие определения и системы обозначений классов симметрии. Формула симметрии.

Ключевые слова: кристаллическая решетка, сингония, симметрия, простые формы, комбинации, формула симметрии, инверсия, оси симметрии.

Типы решеток Бравэ.

Основы современной теории внутреннего строения кристаллов были заложены в начале Х1Х века , когда теория Р.Гайюи о плотной упаковке интегрирующих молекул уступила место идее В.Волластона (первооткрыватель палладия и родия), о строении кристаллов по закону пространственной решетки.

В.Волластон предложил заменить отдельные микрокристаллические (интегрирующие) молекулы Гайюи вписанными в них сферами.

В 1842 г немецкий кристаллограф М.Франкенгейм, исходя из представлении о пространственной решетке, вывел 15 различных вариантов расположения узлов (точек) в пространстве. Через шесть лет в 1848 г французкий кристаллограф Огюст Бравэ установил, что два из выведенных Франкенгеймом варианта идентичны и поэтому число возможных пространственных решеток равна 14. Эти решетки получили название пространственных решеток Бравэ.

О.Бравэ математическим путем доказал, что в каждой кристаллической решетке из бесконечного числа параллелепипедов повторяемости всегда можно выбрать один такой, что с его помощью можно охарактеризовать всю решетку в целом.

Параллелепипед (ячейка) повторяемости (рис.4) характеризуется шестью параметрами: трансляциями а,б,и с, являющиеся его ребрами, и углами между ними

α,β,γ. В зависимости от величин и взаимной ориентировки этих параметров пространственные решетки имеют различную симметрию которая и ограничивает число возможных решеток. Все кристаллические структуры описываются трансляционными группами соответствующим решеткам Бравэ отличающихся по форме элементарных ячеек и по симметрии и подразделяющихся на 7 кристаллографических сингоний. В сингонию объединяются кристаллы, у которых одинакова симметрия элементарных ячеек их структур и одинакова кристаллографическая система осей координат.

Рис. 4. Элементарный параллелепипед.

Таким образом решеткой Бравэ называется группа трансляции, характеризующих расположение материальных частиц в пространстве.

Решетки Бравэ выбираются таким образом, чтобы :

1)симметрия их оставалось такой же,как симметрия всей решетки;

2) число прямых углов и равных ребер должно было бы

максимальным

3) объем решетки- минимальным.

Вследствие таких условий выбора решетки Бравэ могут быть примитивными, базоцентрированными, объемно-центрированными и гранецентрированными.

В примитивной решетке материальные частицы распологаются только в ее узлах ( в вершинах элементарных параллелепипедов).

Примитивные ячейки Бравэ – это те основные ячейки,по которым были характеризованы сингонии кристалла. Распределение решеток Бравэ по сингониям и характеристика их параметров приведены на рис.5.

При определенных соотношениях между а,б,с,α,β,γ, выгоднее пользоваться не примитивными, а сложными решетками, так как они лучше отражают симметрию структуры.

В непримитивных решетках частицы располагаются как в узлах решетки, так и либо в центре двух противоположных граней (базоцентрированная), либо в центре решетки (объемноцентрированная), либо в центре каждой грани (гранецентрированная).

В гексагональной сингонии за примитивную элементарную ячейку принимают призму с ребром, паралелльным оси б и основанием в форме ромба (а=б=с,α=β=90⁰, γ=120⁰). Ячейка определяется двумя параметрами а и с, но не отвечает симметрии всей решетки. Поэтому пользуются гексогональной призмой, составленной из трех примивных ячеек. Эта ячейка уже не примитивная, а базоцентрированная.

Для тригональной сингонии примитивной элементарной ячейкой , удовлетворяющей условиями выбора решеток Бравэ, является ромбоэдр, у которого а = б = с, α=β=γ=90⁰.

Итак, любая из 14 ячеек Бравэ представляет собой совокупность всех эквивалентных узлов кристаллической решетки, которые можно совместить друг с другом путем трансляций. Ячейки Бравэ исчерпывают все возможные варианты простых решеток, состоящих из атомов одного сорта, которые могут быть построены на основе семи сингоний кристаллов, все мыслимые симметричные расположения структурно-идентичных точек в пространстве.

Сложные ячейки, образованные различными (структурно-нетождественными) атомами, состоят из нескольких (по числу различных атомов) взаимопроникающих простых решеток Бравэ. Так, кристаллическая решетка NaCI представляет собой две

ГЦК – решетки Бравэ (одна – из ионов Na⁺, другая – CI^-), вставленные друг в друга и сдвинутые на ½ пространственной диагонали (рис.6,а). Кристаллическая решетка ZnS (рис.6,б) – те же две ГЦК – решетки, вставленные друг в друга и сдвинутые на ¼ пространственной диагонали.

В кристаллографии под размерами (параметрами) кристаллической решетки всякого твердого тела понимают размеры соответствующей решетки Бравэ. Таким образом , понятия «элементарная ячейка» и «решетка Бравэ»- синонимы. При рентгенографическом определении структуры кристалла в первую очередь определяют размеры и тип решетки Бравэ.

Окончательная разработка учения о структурной симметрии связана с именем известного русского кристаллографа и минералога Евграфа Степановича Федорова, опубликовавшего в 1890 г свою знаменитую книгу «Симметрия правильных систем фигур». В этой работе Е.С.Федоров математически вывел и обосновал все возможные геометрические законы пространственного расположения частиц в кристаллах. Это, так называемые, пространственные группы Федорова, их общее число -230. Эти математические выводы Федорова получили через 25 лет экспериментальное подтверждение в реальных структурах кристаллов,, расшифрованных при помощи рентгеновских лучей.

Рис.6. Элементарные ячейки структуры каменной соли NaCl (а) и сфалерита ZnS (б).