Вариант № 20

Задача о доставке грузов (задача о покрытии). Фирма "Автопегас" должна доставить грузы пяти своим клиентам в течение рассматриваемого дня. Клиенту А нужно доставить груз весом в 1 единицу, клиенту В - в 2 единицы, клиенту С - в 3 единицы, клиенту D - в 5 единиц и клиенту Е - в 8 единиц. Фирма располагает четырьмя автомашинами грузоподъемностью: машина 1 - 2 единиц, машина 2 - 6 единиц, машина 3 - 8 единиц, машина 4 - 8 единиц Стоимость эксплуатации автомашины j составляет c_j. Предположим, что одна машина не может доставлять груз обоим клиентам А и С, аналогично одна машина не может использоваться для доставки груза обоим клиентам B и D. Постройте модель для определения такого назначения автомашин для доставки всех грузив, при котором минимизируются суммарные затраты.

Задание №2. Решение задачи линейного программирования графическим методом.

1. –x₁ + x₂ ≤ 3, 2. 3x₁ – x₂ ≥ 9,

5x₁ + 3x₂ ≤ 97, 2x₁ + 3x₂ ≤ 50,

x₁ + 7x₂ ≥ 77; - x₁ + 4x₂ ≥ 19;

f = 3x₁ + 4x₂ → extr f= x₁ + 5x₂ → extr

3. x₁ + 4x₂ ≤ 53, 4. 6x₁ – 5x₂ ≥ 17,

x₁ – x₂ ≤ 3, x₁ + 2x₂ ≤ 34,

7x₁ + 3x₂ ≥ 71; -4x₁ + 9x₂ ≥ 17;

f = 9x₁ + 2x₂ → extr f = 5x₁ + 3x₂ → extr

5. –3x₁ + 14x₂ ≤ 78, 6. 11x₁ – 3x₂ ≥ 24,

5x₁ – 6x₂ ≤ 26, 9x₁ + 4x₂ ≤ 110,

x₁ + 4x₂ ≥ 26; -2x₁ + 7x₂ ≥15;

f = 5x₁ + 7x₂ → extr f = 9x₁ + 2x₂ → extr

7. –4x₁ + 5x₂ ≤ 29, 8. 2x₁ – x₂ ≥ 4,

3x₁ - x₂ ≤ 14, x₁ + 3x₂ ≤ 37,

5x₁ + 2x₂ ≥ 38; -4x₁ + 9x₂ ≥ 20;

f = 3x₁ + 2x₂ → extr f = 4x₁ + 3x₂ → extr

9. 10x₁ – x₂ ≥57, 10. 4x₁ – x₂ ≥ 6,

2x₁ + 3x₂ ≤ 53, 9x₁ + 8x₂ ≤ 157,

6x₁ – 7x₂ ≤ 15; -3x₁ + 11x₂ ≥ 16;

f = 5x₁ + x₂ → extr f = x₁ + x₂ → extr

11. –x₁ + x₂ ≤ 3, 12. 3x₁ – x₂ ≥ 9,

5x₁ + 3x₂ ≤ 97, 2x₁ + 3x₂ ≤ 50,

x₁ + 7x₂ ≥ 77; -x₁ + 4x₂ ≥ 19;

f = 7x₁ + 2x₂ → extr f = 6x₁ + x₂ → extr

13. x₁ + 4x₂ ≤ 53, 14. 6x₁ – 5x₂ ≥ 17,

x₁ – x₂ ≤ 3, x₁ + 2x₂ ≤ 34,

7x₁ + 3x₂ ≥ 71; -4x₁ + 9x₂ ≥ 17;

f = x₁ + 7x₂ → extr f = x₁ + 9x₂ → extr

15. –3x₁ + 14x₂ ≤ 78, 16. 11x₁ – 3x₂ ≥ 24,

5x₁ – 6x₂ ≤ 26, 9x₁ + 4x₂ ≤ 110,

x₁ + 4x₂ ≥ 26; -2x₁ + 7x₂ ≥ 15;

f = x₁ + 8x₂ → extr f = 7x₁ + x₂ → extr

17. –4x₁ + 5x₂ ≤ 29, 18. 2x₁ – x₂ ≥ 4,

3x₁ – x₂ ≤ 14, x₁ + 3x₂ ≤ 37,

5x₁ + 2x₂ ≥ 38; -4x₁ + 9x₂ ≥ 20;

f = 3x₁ + x₂ → extr f = x₁ + 3x₂ → extr

19. 10x₁ – x₂ ≥ 57, 20. 4x₁ – x₂ ≥ 6,

2x₁ + 3x₂ ≤ 53, 9x₁ + 8x₂ ≤ 157,

6x₁ – 7x₂ ≤ 15; -3x₁ + 11x₂ ≥ 16;

f = 2x₁ + 3x₂ → extr f = 8x₁ + 5x₂ → extr

Задание № 3. Решение задачи линейного программирования симплекс-методом или двухфазным симплекс-методом

1. –2x₁ + x₂ – x₃ + x₅ → min, 2. –8x₁ – 2x₂ + 5x₃ – 15x₄ → min,

-2x₂ + x₄ + x₅ = -3, -x₁ + 3x₂ + x₃ + 10x₄ ≤ 25,

x₃ – 2x₄ = 2, 2x₁ + x₂ + x₃ + 5x₄ ≤ 10,

x₁ + 3x₂ – x₄ ≤ 5, 10x₁+2x₂ + 2x₃ – 5x₄ ≤26,

x₁ + x₂ ≥ -3 x_j ≥ 0, j=1,…,4.

x_j ≥ 0, j=1,…,5.

3. 3x₁ + 2x₂ + x₃ → min, 4. –2x₁ – x₂ – x₃ → min,

x₁ + 3x₂ + x₃ ≥ 10 x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 16,

2x₁ + 4x₃ ≥14, x₁ + x₂ ≤ 7,

2x₂ + x₃ ≥ 7, 3x₁ + 2x₃ ≥ 18,

x_j ≥ 0, j=1,2,3. x_j ≥ 0, j=1,2,3.

5. x₁ + 2x₂ + x₃ → min, 6. –x₁ – 2x₂ – 3x₃ → min,

x₁ + x₂ + 2x₃ ≥ 3, 6x₁ + 4x₂ + 3x₃ ≤ 25,

2x₁ + x₂ ≥ 1, 5x₁ + 3x₂ + 2x₃ ≤ 15,

2x₂ + 3x₃ ≥ 4, x_j ≥ 0, j=1,2,3.

x_j ≥ 0, j=1,2,3.

7. x₁ + 3x₂ – x₃ → min, 8. x₁ + 3x₂ – x₃ → min,

x₁ + x₂ + x₃ = 4, x₁ – x₂ + x₃ ≤ 1,

x₁ – x₂ + x₃ ≤ 2, x₁ + x₂ + x₃ ≤ 4,

x_j ≥ 0, j=1,2,3. x_j ≥ 0, j=1,2,3.

9. x₁ – 2x₂ + x₃ → min, 10. –x₁ + 3x₂ + 2x₃ → min,

2x₁ – x₂ + x₃ ≥ 2, x₁ + x₂ + 2x₃ ≥ -5,

x₁ + x₂ – x₃ ≤ 1, 2x₁ – 3x₂ + x₃ ≤ 3,

x_j ≥ 0, j = 1,2,3. 2x₁ – 5x₂ + 6x₃ ≤ 3,

x_j ≥ 0, j = 1,2,3.

11. x₁ + 5x₂ + 4x₃ – 6x₅ → max, 12. 5x₁ + 2x₂ – x₃ → max,

2x₁ + 3x₂ – 4x₃ – 5x₄ ≤ 1, 2x₁ + x₂ + x₃ ≤ 5,

5x₁ – 6x₂ + x₃ – x₄ ≤ 2, 3x₁ + 2x₂ + x₃ = 6,

4x₁ + x₂ – 2x₃ + 3x₄ ≤ 2, 5x₁ + 3x₂ + 4x₃ ≥ 1,

x_j ≥ 0, j = 1,…,4. x_j ≥ 0, j = 1,2,3.

13. 2x₁ + 3x₂ + 5/2x₃ → min, 14. 4x₁ + 5x₂ + 6x₃ → min,

2x₁ + x₂ + 3x₃ ≥ 6, x₁ + x₂ + x₃ ≥ 5,

2x₁ + 4x₂ + 3x₃ ≥ 16, x₁ – x₂ + 2x₃ ≥ 1,

3x₁ + 4x₂ + 2x₃ ≥ 12, x₁ – x₂ – 4x₃ ≤ -3,

x_j ≥ 0, j = 1,2,3. x₁ – x₂ + 8x₃ ≥ 4,

x_j ≥ 0, j = 1,2,3.

15. 2x₁ + 4x₂ + 12x₄ → min, 16. 2x₁ – 2x₂ + 3x₃ → max,

x₁ + 2x₂ + x₃ + 4x₄ ≥ 10, 2x₁ + x₂ + x₃ + x₄ ≤ 2,

2x₁ + x₂ – 2x₃ + 3x₄ ≥ 4, 2x₁ – x₂ + 2x₃ – 3x₄ ≥ 3,

x_j ≥ 0, j = 1,…,4. 3x₁ + 4x₂ – 5x₃ + 2x₄ ≤ 4,

x_j ≥ 0, j = 1,…,4.

17. 5x₁ – x₂ – 4x₃ → max, 18. 4x₁ + 6x₂ + 3x₃ → min,

-x₂ + 2x₃ ≥ 9, 3x₁ + x₂ + 2x₃ ≥9,

-x₁ + x₂ ≥ 1, x₁ + 2x₂ + 2x₃ ≥ 8,

x₁ + x₂ – 3x₃ ≥ 8, x₁ + 6x₂ ≥ 12,

x₁ – x₃ ≤ 4, x_j ≥ 0, j = 1,2,3.

x_j ≥ 0, j = 1,2,3.

19. x₁ – x₂ – x₃ → min, 20. –x₁ – 2x₂ + x₃ → min,

2x₁ – x₂ + x₃ ≤ 1, -x₁ + 4x₂ – 2x₃ ≤ 6,

4x₁ – 2x₂ + x₃ ≥ -2, x₁ + x₂ + 2x₃ ≥ 6,

3x₁ + x₃ ≤ 5, 2x₁ – x₂ + 2x₃ = 4,

x_j ≥ 0, j = 1,2,3. x_j ≥ 0, j = 1,2,3.

Задание № 4. Решение транспортной задачи методом потенциалов

Вариант № 1

a1 = 200, b1 = 90, a2 = 150, b2 = 100, a3 = 150, b3 = 70, b4 = 130, b5 = 110; Вариант № 2
a1 = 300, b1 = 180, a2 = 280, b2 = 140, a3 = 220, b3 = 190, b4 = 120, b5 = 170;
Вариант № 3 a1 = 250, b1 = 180, a2 = 200, b2 = 120, a3 = 150, b3 = 90, b4 = 105, b5 = 105;
Вариант № 4 a1 = 400, b1 = 200, a2 = 250, b2 = 170, a3 = 350, b3 = 230, b4 = 225, b5 = 175;
Вариант № 5 a1 = 150, b1 = 160, a2 = 200, b2 = 70, a3 = 150, b3 = 90, b4 = 80, b5 = 100;
Вариант № 6 a1 = 280, b1 = 170, a2 = 300, b2 = 120, a3 = 220, b3 = 190, b4 = 140, b5 = 180;
Вариант № 7 a1 = 150, b1 = 180, a2 = 250, b2 = 120, a3 = 200, b3 = 90, b4 = 105, b5 = 105;
Вариант № 8 a1 = 250, b1 = 300, a2 = 400, b2 = 160, a3 = 350, b3 = 220, b4 = 180, b5 = 140;
Вариант № 9 a1 = 150, b1 = 100, a2 = 150, b2 = 70, a3 = 200, b3 = 130, b4 = 110, b5 = 90;
Вариант № 10 a1 = 280, b1 = 190, a2 = 220, b2 = 140, a3 = 300, b3 = 180, b4 = 120, b5 = 170;
Вариант № 11 a1 = 200, b1 = 120, a2 = 250, b2 = 180, a3 = 150, b3 = 105, b4 = 90, b5 = 105;
Вариант № 12 a1 = 350, b1 = 120, a2 = 400, b2 = 110, a3 = 250, b3 = 230, b4 = 170, b5 = 200;
Вариант № 13 a1 = 250, b1 = 120, a2 = 250, b2 = 110, a3 = 200, b3 = 85, b4 = 195, b5 = 190;
Вариант № 14 a1 = 250, b1 = 160, a2 = 180, b2 = 120, a3 = 270, b3 = 100, b4 = 150, b5 = 170;
Вариант № 15 a1 = 350, b1 = 160, a2 = 300, b2 = 160, a3 = 350, b3 = 180, b4 = 220, b5 = 280;
Вариант № 16 a1 = 250, b1 = 150, a2 = 350, b2 = 170, a3 = 300, b3 = 190, b4 = 210, b5 = 180;
Вариант № 17 a1 = 220, b1 = 160, a2 = 400, b2 = 180, a3 = 280, b3 = 170, b4 = 200, b5 = 190;
Вариант № 18 a1 = 160, b1 = 170, a2 = 400, b2 = 190, a3 = 240, b3 = 140, b4 = 180, b5 = 120;
Вариант № 19 a1 = 300, b1 = 190, a2 = 330, b2 = 150, a3 = 370, b3 = 240, b4 = 200, b5 = 220; Вариант № 20
a1 = 280, b1 = 170, a2 = 340, b2 = 160, a3 = 280, b3 = 190, b4 = 200, b5 = 180;

Задание № 5. Решение матричной игры: а) показать существование или отсутствие чистых оптимальных стратегий; б) выполнить доминирование; в) свести исходную матричную игру к паре двойственных задач линейного программирования.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

Задание № 6. На склад доставляют фрукты на барже по Q тонн. В сутки со склада потребители забирают M тонн фруктов. Накладные расходы по доставке партии фруктов равны К руб. Издержки хранения 1 тонны фруктов в течении суток равны h руб. Требуется определить:

- длительность цикла, среднесуточные накладные расходы и среднесуточные издержки хранения;

- каковы оптимальный размер заказываемой партии и расчётные характеристики работы склада в оптимальном режиме.

Исходные данные по вариантам

№ варианта	Q (тонн)	М (тонн)	К (руб.)	h (руб.)
1	2500	50	3000	0,20
2	3000	50	2500	0,15
3	2000	50	2000	0,30
4	1500	50	1500	0,40
5	3500	50	2500	0,35
6	4000	50	3500	0,10
7	4500	50	4000	0,20
8	5000	50	4500	0,15
9	1500	50	2700	0,25
10	2000	50	2200	0,20
11	2500	50	2900	0,25
12	3000	50	3700	0,30
13	3500	50	4000	0,15
14	4000	50	3200	0,10
15	4500	50	3700	0,25
16	1500	50	3200	0,10
17	2000	50	3500	0,15
18	2500	50	3700	0,20
19	3000	50	4000	0,25
20	3500	50	3500	0,15

Задание № 7. Филиал фирмы по ремонту часов имеет n опытных мастеров. В среднем в течение рабочего дня от населения поступает в ремонт часов. Общее число часов, находящихся в эксплуатации у населения, очень велико и они независимо друг от друга в различное время выходят из строя. Поэтому есть все основания полагать, что поток заявок на ремонт часов является случайным, пуассоновским. В свою очередь каждые часы в зависимости от характера неисправности также требует различного случайного времени на ремонт. Время на проведение ремонта зависит во многом от серьёзности полученного повреждения, квалификации мастера и множества других причин.

Пусть статистика показала, что время ремонта подчиняется экспоненциальному закону, при этом в среднем в течении рабочего дня каждый из мастеров успевает отремонтировать часов. Требуется оценить работу филиала фирмы по ремонту часов, рассчитав ряд основных характеристик данной СМО.

За единицу времени принимаем 1 рабочий день (7 часов).

Исходные данные по вариантам

№ варианта	n (число мастеров)
1	6	15	3,0
2	9	20	2,5
3	7	12	2,0
4	9	25	3,0
5	16	30	2,0
6	18	35	2,0
7	14	32	2,5
8	10	22	2,7
9	9	18	2,4
10	6	14	2,8
11	15	32	2,3
12	14	30	2,4
13	10	25	2,7
14	8	18	2,6
15	8	15	2,3
16	7	13	2,4
17	15	33	2,5
18	13	31	2,7
19	15	27	2,2
20	9	23	2,9