1 Випадкові величини та їх функції розподілу
1.1. Види випадкових величин
Випадковою величиною називають величину, яка у результаті випробування приймає одне і тільки одне можливе значення, наперед невідоме і яке залежить від випадкових причин, які наперед не можуть бути враховані. Випадкові величини звичайно визначаються прописними літерами Х, Y,…, а їх можливі значення— відповідними рядковими літерами х, у,…
Випадкова величина називається дискретною, якщо вона може приймати окремі, ізольовані можливі значення з певними ймовірностями. Число можливих значень дискретної випадкової величини може бути кінцевим або безкінечним.
Випадкова величина називається непереривною, якщо вона може приймати будь-яке значення із деякого кінцевого або безкінечного проміжку. Очевидно, що число можливих значень неперервної випадкової величини безкінечно.
1.2. Дискретні випадкові величини
1.2.1 Закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини
Закон розподілу дискретної випадкової величини називають відповідність між можливими значеннями цієї випадкової величини і ймовірностями подій, при яких випадкові величини приймають дані значення. Цей закон може бути заданий наступними способами:
1. Таблично:
Х |
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
(1.2.1) |
р |
р1 |
р2 |
р3 |
р4 |
де х1, х2,…, хn — можливі значення випадкової величини Х, а р1=Р(Х=х1), р2=Р(Х=х2),…, рn=Р(Х=хn) Так як при одному випробуванні випадкова величина Х приймає одне і тільки одне значення, то події Х=х1, Х=х2,…, Х=хn утворюють повну групу попарно несумісних подій. Тому:
р1+ р2+…+ рn=1 (1.2.1.1)
2. Аналітично. Наприклад, якщо відбувається n незалежних випробувань, в кожному з яких може відбутися подія А с ймовірністю р, то в якості випадкової величини Х можна розглядати число появ події А. Ця випадкова величина може приймати значення 0,1,2,…n. А відповідні ймовірності можна визначати за формулами, що будуть розглянуті нижче.
1.2.2 Числові характеристики дискретних випадкових величин.
Нехай закон розподілу дискретної випадкової величини Х заданий за допомогою таблиці (1.2.1)
Математичним очікуванням дискретної випадкової величини називається сума добутків усіх можливих значень випадкової величини на їх ймовірність.
(1.2.2.1)
З погляду ймовірності можна сказати, що математичне очікування приблизно рівне середньому арифметичному спостережуваних значень випадкової величини.
Властивості математичного очікування.
Математичне очікування постійної величини рівне самій постійній величині.
(1.2.2.2)
Постійний множник можна виносити за знак математичного очікування.
(1.2.2.3)
Математичне очікування добутку двох незалежних випадкових величин рівне добутку їх математичних очікувань.
(1.2.2.4)
Ця властивість справедлива для довільного числа випадкових величин.
4. Математичне очікування суми двох випадкових величин рівне сумі математичних очікувань доданків.
(1.2.2.5)
Ця властивість також справедливо для довільного числа випадкових величин.
Хай проводиться п незалежних випробувань, вірогідність появи події А в яких рівний р.
Теорема. Математичне очікування М(Х) числа появи події А в n незалежних випробуваннях рівно добутку числа випробувань на ймовірність появи події в кожному випробуванні.
(1.2.2.6)
Визначення. Дисперсією (розсіюванням) дискретної випадкової величини називається математичне очікування квадрата відхилення випадкової величини від її математичного очікування.
(1.2.2.7)
Для обчислення дисперсії часто буває зручним використовувати наступну формулу
(1.2.2.8)
Дисперсія рівна різниці між математичним очікуванням квадрата випадкової величини Х і квадратом її математичного очікування
Властивості дисперсії.
Дисперсія постійної величини рівна нулю.
(1.2.2.9)
Постійний множник можна виносити за знак дисперсії, зводячи його до квадрату.
(1.2.2.10)
3. Дисперсія суми двох незалежних випадкових величин рівна сумі дисперсій цих величин.
(1.2.2.11)
4. Дисперсія різниці двох незалежних випадкових величин рівна сумі дисперсій цих величин.
(1.2.2.12)
Теорема. Дисперсія числа появи події А в n незалежних випробувань, в кожному з яких ймовірність р появи події постійна, рівна добутку числа випробувань на ймовірність появи і не появи події в кожному випробуванні.
(1.2.2.13)
Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини Х називається квадратний корінь з дисперсії.
(1.2.2.14)
Теорема. Середнє квадратичне відхилення суми кінцевого числа взаємно незалежних випадкових величин рівне квадратному кореню з суми квадратів середніх квадратичних відхилень цих величин.
(1.2.2.15)