2.2.4. Асиметрія і ексцес емпіричного розподілу

Для оцінки відхилення емпіричного розподілу від нормального використовують різні характеристики, до яких належать асиметрія і ексцес. Для нормального розподілу ці характеристики рівні нулю. Тому якщо для розподілу, що вивчається, асиметрія і ексцес мають невеликі значення, то можна припустити близькість цього розподілу до нормального.

Навпаки, великі значення асиметрії і ексцесу вказують на значне відхилення від нормального.

Асиметрія емпіричного розподілу визначається рівністю

(2.2.4.1)

Де σ_в- вибіркове середнє квадратичне відхилення; μ₃ - центральні емпіричні моменти третього порядку

(2.2.4.2)

Асиметрія додатна, якщо «довга частина» кривої розподілу розташована праворуч від математичного очікування; асиметрія від’ємна, якщо «довга частина» кривої розташована зліва від математичного очікування. Практично визначають знак асиметрії за розташуванням кривої моди (точки максимуму диференціальній функції): якщо «довга частина» кривої розташована правіше за моду, то асиметрія позитивна а), якщо зліва - негативна б)

Для оцінки «крутизни», тобто більшого або меншого підйому кривої емпіричного розподілу у порівнянню з нормальною кривою користуються характеристикою - ексцесом.

Ексцесом емпіричного розподіли називають характеристику, яка визначається рівністю

(2.2.4.3)

Де σ_в- вибіркове середнє квадратичне відхилення; μ₄ - центральні емпіричні моменти четвертого порядку

(2.2.4.4)

Для нормального розподілу отже, ексцес рівний нулю. Тому якщо ексцес деякого розподіли відмінний від нуля то крива цього розподілу відрізняється від нормальної кривої: якщо ексцес позитивний, то крива має вищу і «гострішу» вершину, чим нормальна крива а); якщо ексцес негативний, то порівнювана крива має більш низьку і «плоску» вершину, чим нормальна крива 6). При цьому передбачається, що нормальний і емпіричний розподіли мають однакові математичні очікування і дисперсії.

Обчислення центральних емпіричних моментів у разі рівновіддалених варіант з кроком h (крок рівний різниці між будь-якими двома сусідніми варіантами) зручно робити за формулами:

(2.2.4.5)

де умовні моменти к-го порядку

(2.2.4.6)

- умовні варіанти. Тут х_і –первинні варіанти; С-хибний нуль, тобто варіанта, що має найбільшу частоту (або будь-яка варіанта, розташована приблизно в середині варіаційного ряду).

В цьому ж випадку зручно знаходити вибіркові середню н дисперсію методом добутків по формулах

(2.2.4.7)

Приклад 2.5

В таблиці наведені данні вибірки з частини тексту в 100 слів для двомірної випадкової величини (Х,Y), де Х – число букв у слові, Y- число голосних букв в цьому слові.

Для компоненти Х обчислити вибіркове середнє, дисперсію, середнє квадратичне відхилення; вибіркову асиметрію та ексцес розподілу, дізнатися чи виконується для неї правило «трьох сигм», зробити припущення про закон розподілу.

Х/Y	0	1	2	3	4	5	6
1	4	4
2		5
3		10
4		1	12
5		2	11	4
6			6	10
7			1	5	1
8				2	5
9				1	7
10					3	2
11					1	2	1

Вибірка окремо для величини Х буде мати вигляд:

хі	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
пі	8	5	10	13	17	16	7	7	8	5	4

Скористуємося методом добутків складемо розрахункову таблицю:

1) запишемо варіанти в перший стовпець;

2) запишемо частоти в другий стовпець; суму частот (100) помістимо в нижню клітинку стовпця;

3) Як хибний нуль C виберемо варіанту 5, яка має найбільшу частоту (у якості C можна узяти будь-яку варіанту, розташовану приблизно в середині стовпця); у клітинці третього стовпця, яка належить рядку, що містить хибний нуль, пишемо 0; над нулем послідовно записуємо -1, -2, -3, -4, а під нулем 1,2, 3; 4, 5, 6

4) добуток частот п_і на умовні варіанти u_i запишемо у четвертий стовпець; суму позитивних та негативних чисел поміщаємо в нижню клітку четвертого стовпця;

5) добуток частот на квадрати умовних варіант, тобто п_і u_i² запишемо в п'ятий стовпець; суму чисел стовпця поміщаємо в нижню клітку п'ятого стовпця;

Аналогічно заповнюємо 6 та 7 стовбці

хі	пі	ui	пі ui	пі ui2	пі ui3	пі ui4
1	8	-4	-32	128	-512	2048
2	5	-3	-15	45	-135	405
3	10	-2	-20	40	-80	160
4	13	-1	-13	13	-13	13
5	17	0	0	0	0	0
6	16	1	16	16	16	16
7	7	2	14	28	56	112
8	7	3	21	63	189	567
9	8	4	32	128	512	2048
10	5	5	25	125	625	3125
11	4	6	24	144	864	5184
	N=100

За формулою: (2.2.4.6) знаходимо:

Згідно (2.2.4.7)

З (2.2.4.5) маємо:

За формулою (2.2.4.1)

Згідно (2.2.4.3)

Так як , то «довга частина» кривої розташована правіше за моду, : крива має більш низьку і «плоску» вершину, чим нормальна крива.

Перевірка правила трьох сигм:

m= =5.52,

За (1.3.5.8) маємо:

Ймовірність приблизно рівна одиниці, з чого можемо зробити припущення, що компонента Х розподілена нормально.

2.3. Перевірка гіпотези про нормальний розподіл генеральній сукупності по критерію Пірсона

Нехай емпіричний розподіл заданий у вигляді послідовності рівновіддалених варіант і відповідних ним частот.

хі	x1	x2	…	xN
пі	n1	n2	….	nN

Необхідно, використовуючи критерій Пірсона, перевірити гіпотезу про те, що генеральна сукупність X розподілена нормально.

Правило . Для того, щоб при заданому рівні значимості α перевірити гіпотезу про нормальний розподіл генеральної сукупності, треба:

1. Обчислити безпосередньо (при малому числі спостережень) або спрощеним методом (при великому числі спостережень), наприклад методом добутків, вибіркову середню і вибіркове середнє квадратичне відхилення σ_в.

2. Обчислити теоретичні частоти

(2.3.1)

де п- об'єм вибірки (сума всіх частот), h-крок (різниця між двома сусідніми варіантами),

(2.3.2)

Значення функції знаходяться в додатку 2

3. Порівняти емпіричні і теоретичні частоти за допомогою критерію Пірсона. Для цього:

а) складають розрахункову таблицю, по якій знаходять спостережуване значення критерію

(2.3.3)

б) згідно таблиці критичних точок розподілу χ² (додаток 4), за заданим рівнем значущості α і числу степенів свободи k=s-3 (s - число груп вибірки) знаходять критичну точку χ²_кр (α; k) правобічної критичної області.

Якщо < χ²_кр - нема підстав відкидати гіпотезу про нормальний розподіл генеральної сукупності. Іншими словами емпіричні і теоретичні частоти розрізняються не значущо (випадково). (2.3.4)

Якщо > χ²_кр - гіпотезу відкидають. Іншими словами, емпіричні і теоретичні частоти розрізняються значущо. (2.3.5)

Зауваження . Малочислені частоти (п_і < 5) потрібно об'єднати; в цьому випадку і відповідні їм теоретичні частоти також треба скласти. Якщо проводилося об'єднання частот, то при визначенні числа степенів свободи по формулі k=s-3 потрібно в якості s прийняти число груп вибірки, що залишилися після об'єднання частот.

Приклад 2.6

За допомогою критерію Пірсона з рівнем значимості α=0,01 перевірити гіпотезу, що компонент Y з прикладу 2.5 має нормальний розподіл з параметрами рівними їх оцінкам а= та σ²=D

Вибірка окремо для величини Y буде мати вигляд:

Yі	0	1	2	3	4	5	6
пі	4	22	30	22	17	4	1

1. За допомогою методу добутків знайдемо вибіркове середнє та середнє квадратичне відхилення

yі	пі	ui	пі ui	пі ui2
0	4	-2	-8	16
1	22	-1	-22	22
2	30	0	0	0
3	22	1	22	22
4	17	2	34	68
5	4	3	12	36
6	1	4	4	16
	N=96

2. Обчислюємо теоретичні частоти, враховуючи, що п=100, h=1,

і	yі
1	0	-1,91	0,0644	5,1
2	1	-1,12	0,2131	16,8
3	2	-0,33	0.3778	29,7
4	3	0,46	0,3589	28,2
5	4	1,24	0,1849	14,6
6	5	2,03	0,0508	4,0
7	6	2,82	0.0075	0,6

3. Порівняємо емпіричні та теоретичні частоти.

а) Складемо розрахункову таблицю, згідно якої знайдемо значення критерію, що спостерігається.

i	пі
1	26	21,9	4,1	16,81	0,768
2	30	29,7	0,3	0,09	0,003
3	22	28,2	-6,2	38,44	1,363
4	17	14,6	2,4	5,76	0,395
5	5	4,6	0,4	0,16	0,035
					2,6

Згідно зауваження 1 ,2 та останні 2 частоти було об’єднано в одну.

б) За таблиці критичних точок розподілу χ² (див. додаток 4), по рівню значущості α=0,01 і числу степенів свободи

k = s-3 = 5-3=2 знаходимо критичну точку правосторонньої критичній області

χ²_кр (0.01;2)=9.2

Згідно (2.3.4) емпіричні і теоретичні частоти розрізняються не значущо (випадково).

2.4. Лінійна кореляція

Якщо обидві лінії регресії Y на X і X на Y-прямі, то кореляцію називають лінійною.

Вибіркове рівняння прямої лінії регресії Y на X має вигляд

(2.4.1)

де - умовна середня; і - вибіркові середні ознак X і Y; σ_х і σ_у – вибіркові середні квадратичні відхилення;

- вибірковий коефіцієнт кореляції, причому

(2.4.2)

Вибіркове рівняння прямої лінії регресії X на Y має вигляд

(2.4.3)

Якщо дані спостережень над ознаками X і Y задані у вигляді кореляційної таблиці з рівновіддаленими варіантами, то доцільно перейти до умовних варіантів:

(2.4.4)

де C₁-«хибний нуль» варіант X (новий початок відліку); у якості хибного нуля вигідно прийняти варіанту, яка розташована приблизно в середині варіаційного ряду (домовимося приймати за хибний нуль варіанту, що має найбільшу частоту); h₁-крок, тобто різниця між двома сусідніми варіантами X; С₂- хибний нуль варіанта Y; h₂- крок варіанти Y.

В цьому випадку вибірковий коефіцієнт кореляції

(2.4.5)

Величини , , можуть бути знайдені або методом добутків (при великому числі даних), або безпосередньо по формулам:

(2.4.6)

Знаючи ці величини, можна визначити що вхідні рівняння регресії (2.4.1), (2.4.3) за формулами:

(2.4.7)

Для оцінки сили лінійного кореляційного зв'язку служить вибірковий коефіцієнт кореляції

Приклад 2. 7

Знайти вибірковий коефіцієнт кореляції для компонент з прикладу 2.5, скласти рівняння лінійної регресії (Y на X) та (X на Y), побудувати їх графіки

Розв’язання.

Складемо кореляційну таблицю в умовних варіантах, вибравши за хибні нулі С₁=6 і С₂=3 (кожна з цих варіант розташована в середині відповідного варіаційного ряду).

u/v	-3	-2	-1	0	1	2	3	nu
-5	4	4						8
-4		5						5
-3		10						10
-2		1	12					13
-1		2	11	4				17
0			6	10				16
1			1	5	1			7
2				2	5			7
3				1	7			8
4					3	2		5
5					1	2	1	4
nv	4	22	30	22	17	4	1

Знайдемо допоміжні величини

Знайдемо

Знайдемо для чого складемо наступну таблицю:

u/v	-3	-2	-1	0	1	2	3	V=	uV
-5	4	4						-20	100
-4		5						-10	40
-3		10						-20	60
-2		1	12					-14	28
-1		2	11	4				-15	15
0			6	10				-6	0
1			1	5	1			0	0
2				2	5			5	10
3				1	7			7	21
4					3	2		7	28
5					1	2	1	8	40
U=	-20	-74	-34	8	49	18	5		342
vU	60	148	34	0	49	36	15	342

Знайдемо шуканий вибірковий коефіцієнт кореляції:

Кроки h₁₌1 і h₂₌2 (різниці між будь-якими двома сусідніми варіантами):

Знайдемо , враховуючи, що С₁=6, С₂ = 3:

Знайдемо σ_х і σ_у:

Підставивши знайдені величини в співвідношення (2.4.1), (2.4.3)отримаємо шукані рівняння прямої лінії регресії Y на X та X на Y:

або остаточно