2.1.3.Емпірична функція розподілу

Нехай відомий статистичний розподіл частот кількісної ознаки X. Введемо позначення: п_х-число спостережень, при яких спостерігалося значення ознаки, менше х; п-загальне число спостережень (об'єм вибірки). Ясно, що відносна частота події X < х дорівнює п_х/п. Якщо х змінюється, то, взагалі кажучи, змінюється і відносна частота, тобто відносна частота п_х/п. є функція від х. Оскільки ця функція знаходиться емпіричним (досвідченим) шляхом, то її називають емпіричною.

Емпіричною функцією розподілу (функцією розподіли вибірки) називають функцію F* (х), що визначає для кожного значення х відносну частоту події X < х.

Отже, за визначенням

F* (х)= п_х/п (2.1.3.1)

де п_х-число варіант, менших х; п - об'єм вибірки.

На відміну від емпіричної функції розподілу вибірки функцію розподілу F (х) генеральної сукупності називають теоретичною функцією розподілу. Відмінність між емпіричною і теоретичною функціями полягає в тому, що теоретична функція F (х) визначає ймовірність X < х, а емпірична функція F* (х) визначає відносну частоту цієї ж події.

Емпірична функція володіє наступними властивостями.

1. Значення емпіричної функції належать відрізку [0; 1].

2. F* (х) – неспадаюча функція.

3. Якщо х₁- найменший варіанту, а х_k- найбільший, то F*(x)=0 при x≤ x₁ і F*(x)= 1 при x > x_k

Приклад 2.2

Знайти емпіричну функцію по даному розподілу вибірки:

хі	1	4	6
пі	10	15	25

Розв’язання

Знайдемо об'єм вибірки: п = 10+15+25=50.

Найменша варіанта рівна одиниці, тому F*(х)=0 при х≤1

Значення х < 4, а саме х₁ = 1, спостерігалося 10 разів, отже, F* (x) = 10/50 =0.2 при 1 < x ≤ 4.

Значення х < 6, а саме: x₁=1 і х₂=4, спостерігалися 10+15=25 разів; тобто, F*(x)=25/50=0,5 при 4 < х ≤6.

Оскільки х=6-найбільша варіанта, то F*{x)= 1 при х > 6.

Напишемо шукану емпіричну функцію:

Графік цієї функції має вигляд:

2.2. Статистичні оцінки параметрів розподілу

2.2.1. Точкові оцінки

Статистичною оцінкою Q* невідомого параметра Q теоретичного розподілу називають функцію f(X₁, X₂ ..., Х_п) від випадкових величин X₁, X₂ ..., Х_п, що спостерігаються.

Точковою називають статистичну оцінку, яка визначається одним числом Q*= f(X₁, X₂ ..., Х_п), де X₁, X₂ ..., Х_п - результати п спостережень над кількісною ознакою X (вибірка).

Незміщеною називають точкову оцінку, математичне очікування якої рівне оцінюваному параметру при будь-якому об'ємі вибірки.

Зміщеною називають точкову оцінку, математичне очікування якої не рівне оцінюваному параметру.

Незміщеною оцінкою генеральної середньої (математичного очікування) служить вибіркова середня

(2.2.1.1)

де х_і - варіанта вибірки, п_і-частота варіанти, - об'єм вибірки.

Зміщеною оцінкою генеральної дисперсії служить вибіркова дисперсія

(2.2.1.2)

Зручніша формула

(2.2.1.3)

Зауваження. Якщо первинні варіанти є десятковими дробами з k десятковими знаками після коми, то щоб уникнути дій з дробами, множать первинні варіанти на постійне число С =10^к, тобто переходять до умовних варіантів

u_i=Cx_i (2.2.1.4)

При цьому дисперсія збільшиться в С² разів. Тому, знайшовши дисперсію умовних варіант, треба розділити її на С²:

(2.2.1.5)

Незміщеною оцінкою генеральної дисперсії служить виправлена вибіркова дисперсія

(2.2.1.6)

Зручніша формула

(2.2.1.7)

Приклад 2.3

Знайти вибіркове середнє, вибіркову дисперсію, вибіркове та виправлене середнє квадратичне відхилення за даним розподілом вибірки об’єму п=20;

хі	0.1	0,5	0,7	0,9
пі	6	12	1	1

Розв’язання:

1. За формулою (2.2.1.1) та враховуючи (2.2.1.4) u_i=10 x_i маємо вибіркове середнє:

2. За формулою (2.2.1.3) та враховуючи (2.2.1.5) знайдемо вибіркову дисперсію:

3. Враховуючи (1.2.2.14) вибіркове середнє квадратичне відхилення

4. За формулою (2.2.1.7) враховуючи (2.2.1.5) знайдемо виправлену дисперсію:

Враховуючи (1.2.2.14) виправлене середнє квадратичне відхилення: