2 Елементи математичної статистики

2.1. Вибірковий метод

0. Генеральна і вибіркова сукупності

Нехай потрібно вивчити сукупність однорідних об'єктів щодо деякої якісної або кількісної ознаки, характер, яка характеризує ці об'єкти.

Іноді проводять суцільне обстеження, тобто обстежують кожний з об'єктів сукупності відносно ознаки, якою цікавляться. На практиці, проте суцільне обстеження застосовують порівняно рідко. Частіше випадково відбирають зі всієї сукупності обмежене число об'єктів і піддають їх вивченню.

Вибірковою сукупністю або просто вибіркою називають сукупність випадково відібраних об'єктів.

Генеральною сукупністю називають сукупність об'єктів, з яких проводиться вибірка.

Об'ємом сукупності (вибірковою або генеральною) називають число об'єктів цієї сукупності.

Зауваження. Часто генеральна сукупність містить кінцеве число об'єктів. Проте якщо це число достатньо велике, то іноді в цілях спрощення обчислень, або для полегшення теоретичних висновків, допускають, що генеральна сукупність полягає з незліченної кількості об'єктів. Таке допущення виправдовується тим, що збільшення об'єму генеральної сукупності (достатньо великого об'єму) практично не позначається на результатах обробки даних вибірки.

2.1.2. Статистичний розподіл вибірки

Нехай з генеральної сукупності витягнута вибірка, причому x₁ спостерігалося n₁ разів, х₂- n_2, х_k- n_k разів і - об'єм вибірки. Спостережувані значення х, - називають варіантами, а послідовність варіант, записаних в зростаючому порядку, - варіаційним рядом. Числа спостережень називають частотами, а їх відношення до об'єму вибірки відносними частотами.

Статистичним розподілом вибірки називають перелік варіант і відповідних ним частот або відносних частот. Статистичний розподіл можна зазадати також у вигляді послідовності інтервалів і відповідних ним частот (як частоту, відповідну інтервалу, приймають суму частот, що потрапили в цей інтервал).

Зауваження В теорії ймовірності під розподілом розуміють відповідність між можливими значеннями випадкової величини і їх ймовірністю, а в математичній статистиці відповідність між спостережуваними варіантами і їх частотами, або відносними частотами.

Приклад 2.1.

Задані значення х₁, х₂,…, х_п, які прийняла дискретна випадкова величина Х у послідовності п=20 незалежних випробуваннях. Потрібно:

2 6 12 6 6 6 12 12 2 12 6 6 6 6 12 12 6 6 2 12

1. Задати розподіл частот вибірки

2. Написати розподіл відносних частот

Розв’язання

1) В даній виборці число 2 спостерігається 3 рази, 6— 10 раз, 12—7 раз, тому маємо наступний розподіл частот вибірки

хі	2	6	12
пі	3	10	7

2) Знайдемо відносні частоти, для чого розділимо частоти на об'єм вибірки:

W₁ = 3/20 = 0.15, W₂= 10/20 = 0,50, W₃ = 7/20 == 0,36.

Напишемо розподіл відносних частот:

хі	2	6	12
wі	0.15	0.50	0.36

Контроль: 0,15 + 0,50 + 0,36=1.