1.3.3. Числові характеристики неперервних випадкових величин.
Нехай неперервна випадкова величина Х задана функцією розподілу f(x). Допустимо, що всі можливі значення випадкової величини належать відрізку [а,b].
Математичним очікуванням неперервної випадкової величини Х, можливі значення якої належать відрізку [а,b], називається визначений інтеграл
(1.3.3.1)
Якщо можливі значення випадкової величини розглядаються на всій числовій осі, то математичне очікування знаходиться по формулі:
(1.3.3.2)
При цьому, звичайно, передбачається, що невласний інтеграл сходиться.
Дисперсією неперервної випадкової величини називається математичне очікування квадрата її відхилення.
(1.3.3.3)
По аналогії з дисперсією дискретної випадкової величини, для практичного обчислення дисперсії використовується формула:
(1.3.3.4)
Середнім квадратичним відхиленням називається квадратний корінь з дисперсії.
(1.3.3.5)
Приклад 1.1
Випадкова величина Х задана функцією розподілу F(x) Необхідно:
Знайти щільність ймовірності f(x);
Обчислити математичне очікування та дисперсію випадкової величини Х
Побудувати графіки функції розподілу і щільність ймовірності.
Розв’язання За означенням (2.3.2.1) диференційна функція розподілу
Математичне очікування неперервної випадкової величини Х знайдемо за формулою(2.3.3.2):
Дисперсію знайдемо за формулою (2.3.3.4):
Побудуємо графіки функцій y=F(x) та y=f(x)
1.3.4. Рівномірний розподіл.
Неперервна випадкова величина має рівномірний розподіл на відрізку [а, b], якщо на цьому відрізку щільність розподілу випадкової величини постійна, а поза ним рівна нулю.
(1.3.4.1)
Постійна величина С може бути визначена з умови рівності одиниці площі, обмеженої кривою розподілу.
f(x)
0 a b x
Отримуємо
Знайдемо функцію розподілу F(x) на відрізку [а,b].
(1.3.4.2)
F(x)
1
0 a b x
Для того, щоб випадкова величина підкорялася закону рівномірного розподілу необхідно, щоб її значення лежали усередині деякого певного інтервалу, і усередині цього інтервалу значення цієї випадкової величини були б рівно ймовірні.
Визначимо математичне очікування і дисперсію випадкової величини, підпорядкованої рівномірному закону розподілу.
(1.3.4.3)
(1.3.4.4)
(1.3.4.5)
Ймовірність попадання випадкової величини в заданий інтервал:
(1.3.4.6)
1.3.5 Нормальний закон розподілу.
Нормальним називається розподіл ймовірності неперервної випадкової величини, яке описується щільністю ймовірності
(1.3.5.1)
Нормальний закон розподілу також називається законом Гауса.
Параметри
та
,
які входять в щільність розподіли є
відповідно математичним очікуванням
і середнім квадратичним відхиленням
випадкової величини Х.
Функцію розподілу F(x).
(1.3.5.2)
При = 0 і =1розподіл називається нормованим нормальним розподілом
(1.3.5.3)
Інтегральна функція
(1.3.5.4)
Обидві функції протабульовані (додаток 2, додаток 3)
Графік щільності нормального розподілу називається нормальною кривою або кривою Гауса.
Нормальна крива володіє наступними властивостями:
1) Функція визначена на всій числовій осі.
2) При всіх х функція розподілу приймає тільки позитивні значення.
3) Вісь ОХ є горизонтальною асимптотою графіка щільності ймовірності.
4)
Графік функції f(x)
перетинає вісь ОY
в точці
5)
Функція має максимум в точці
6) Функція є симетричною відносно прямою х = ,
7)
Графік функції має точки перегибу в
точках
,
Побудуємо графік функції щільності розподілу.
Побудовані графіки при =0 і трьох можливих значеннях середнього квадратичного відхилення = 1, = 2 і = 7. Як видно, при збільшенні значення середнього квадратичного відхилення графік стає пологішим, а максимальне значення зменшується.
Знайдемо ймовірність попадання випадкової величини, розподіленої по нормальному закону, в заданий інтервал.
(1.3.5.5)
Позначимо
Тоді
(1.3.5.6)
де
(1.3.5.7)
функція Лапласа або інтеграл ймовірності (таблиця - додаток 3)
При розгляді нормального закону розподілу виділяється важливий часний випадок, відомий як правило трьох сигм.
Запишемо ймовірність того, що відхилення нормально розподіленої випадкової величини від математичного очікування менше заданої величини ∆:
(1.3.5.8)
Якщо прийняти ∆ = 3σ, то отримуємо з використанням таблиць значень функції Лапласа:
(1.3.5.9)
Тобто ймовірність того, що випадкова величина відхилиться від свого математичного очікування на величину, більшу чим потрійне середнє квадратичне відхилення, практично рівна нулю.
Це правило називається правилом трьох сигм.
Не практиці вважається, що якщо для якої-небудь випадкової величини виконується правило трьох сигм, то ця випадкова величина має нормальний розподіл.
Приклад 1.2.
Знайти ймовірність попадання випадкової величини Х до відрізку [α;β], якщо вона розподілена:
1) рівномірно на відрізку [c;d]
2) за нормальним законом і має математичне очікування a і середнє квадратичне відхилення σ
3) за законом Пуассона і має математичне очікування а .
α=2; β=9; с=7; d=15; a=7; σ=3
1) Як відомо (1.3.4.6), для рівномірного розподілу:
2) За формулою (1.3.5.6)
де - функція Лапласа, таблиця якої приведена в додатку 3
=
Тут врахована непарність функції Ф(х)
3) За формулою (1.2.4.1) та (1.3.1.2) ,та з (1.2.4.2) λ=а
,
(так як
функція
спадна )
Значення функції Пуассона знайдемо за таблицею в додатку 1
