8. Похибки непрямих вимірювань

У багатьох випадках потрібну величину неможливо виміряти безпосередньо приладом, тоді потрібно вимірювати інші величини, математична залежність від яких шуканої величини відома.

Об'єм прямокутного паралелепіпеда легко підрахувати, якщо ві­домі довжини його ребер а, Ь, с, за формулою V= а • Ь • с.

Але величини а, Ь, с виміряні з деякими похибками ∆а, ∆Ь, ∆с, від яких і залежатиме похибка об'єму паралелепіпеда ∆V. Яким же чином підрахувати похибку непрямого вимірювання, якщо похибки прямих вимірювань відомі?

Загальні правила підрахунку похибок непрямих вимірювань мо­жна дістати тільки за допомогою математичної теорії похибок і ме­тодів диференціального числення. Наведемо тільки остаточні фор­мули та методику їх застосування.

Нехай шукана величина у залежить від кількох безпосередньо і незалежно виміряних величин x₁, x₂, …, x_i, x_n, і залежність ця ві­дома: y=f(x₁, x₂, …, x_i, …, x_n)

Якщо похибки прямих вимірювань ∆х₁, ∆х₂, ..., ∆х_i, ..., ∆х_n, підрахо­вані при однаковій довірчій імовірності, то для цієї самої ймовірності похибка непрямих вимірювань ∆у розраховується за формулою

З цієї формули випливає, що для знаходження похибки функції потрібно взяти частинні похідні даної функції за змінними x₁, x₂, …, x_i, x_n та помножити їх на абсолютну похибку відповідної змінної. Та­ким чином, кожна з похибок прямих вимірювань робить свій внесок у похибку непрямих вимірювань.

Наведеною вище формулою зручно користуватися, якщо шукана величина є сумою або різницею результатів прямих вимірювань. Нехай

y=a₁x₁+a₂x₂+…+a_ix_i+…+a_nx_n ,

де a₁, a₂ , …, a_n є константами.

Тоді абсолютна похибка непрямого вимірювання ∆у буде визна­чатись за формулою

Але досить часто розрахунок похибок результатів непрямих ви­мірювань зручніше починати зі знаходження відносної похибки :

У цю формулу замість частинних похідних від функції f(x₁, x₂, …, x_n) входять частинні похідні від логарифма цієї функції. Особливо зручно застосовувати таку формулу для функцій виду y=Ax₁^l∙x₂^m∙…∙x_n^p, де А, l, т, р — сталі величини, які можуть бути цілими або дробови­ми, додатними або від'ємними. Знайдемо відносну похибку такої функції, для чого спочатку логарифмуємо цей вираз:

ln(y) = ln(A)+l∙ln(x₁)+m∙ln(x₂)+…+p∙ln(x_n)

Потім знайдемо частинні похідні від логарифма функції за змін­ними x₁, x₂, …, x_n:

Підставивши ці значення в загальний вираз для відносної похиб­ки , дістанемо формулу

Відношення абсолютної похибки величини ∆х_i, до її значення х_i є відносною похибкою. Після такої заміни вираз набирає досить прос­того вигляду:

де — відносні похибки результатів прямих вимірювань.

Отже, чим більший показник степеня величини у формулі, тим більше впливає похибка цієї величини на загальну похибку резуль­тату непрямого вимірювання, при цьому знак («плюс» чи «мінус») показника степеня не має значення, оскільки всі величини у формулі беруться у квадраті. Цю обставину необхідно враховувати при ви­борі формули для розрахунків.

Залежність, в якій відсутні операції додавання і віднімання, зу­стрічається досить часто, наприклад, густина твердого циліндрично­го тіла розраховується за формулою

де т — маса циліндра; V — його об'єм, а D і h — діаметр і висота.

Застосувавши загальну формулу для даного випадку, дістанемо вираз для знаходження відносної похибки густини:

Тепер легко знайти й абсолютну похибку . Насамкінець наведемо послідовність дій для відшукання похибки непрямих вимірювань.