2. Основные понятия теории вероятности
2.1. Вероятность событий
В качестве одного из основных понятий в теории вероятности используется понятие случайного события. Под случайным событием понимают всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Примерами случайных событий являются: появление герба при бросании монеты, появление 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков при бросании игральной кости; попадание или промах при выстреле и т.д. События обычно обозначаются первыми буквами латинского алфавита: А, В, С, D, E, F... Каждое из рассмотренных выше событий обладает какой-то степенью возможности: одни - большей, другие - меньшей. Чтобы количественно сравнить между собой события по степени их возможности, нужно с каждым событием связать число, которое тем больше, чем более возможно событие. Такое число называется вероятностью события и является количественной мерой степени объективной возможности этого события. Понятие вероятности всегда связывается с опытом. На основании опыта считают более вероятными те события, которые происходят чаще, а менее вероятными - те события, которые происходят реже; маловероятными - те, которые почти никогда не происходят. Отсюда следует, что понятие вероятности связано с опытным понятием частоты события.
Для сравнения событий между собой по степени их возможности необходимо установить единицу измерения. В качестве такой единицы измерения принимают вероятность достоверного события, т.е. такого события, которое при данных условиях обязательно произойдет. Невозможным событием называется событие, которое при данных условиях опыта не может произойти. Если положить вероятность невозможного события равной нулю, то вероятность любого возможного события будет изменяться в интервале от 0 до 1.
2.2. Подсчет вероятностей
Для многих событий вероятность их возможных исходов легко оценить непосредственно из условий опыта. Для этого необходимо, чтобы исходные опыты обладали симметрией и в силу этого были одинаково возможны.
Например,
выпадение герба или надписи при бросании
монеты одинаково возможны, и вероятность
их появления можно принять равной 
.
При бросании игральной кости выпадение
очков 1, 2, 3, 4, 5, 6 также равновозможно в
силу симметрии кубика и поэтому
вероятность появления каждой из граней
равна 1/6. При подсчете вероятностей
событий для всякого опыта, возможные
исходы которого симметричны и одинаково
возможны, можно применить непосредственный
подсчет вероятностей. Анализ условий
опытов, для которых возможен подсчет
вероятностей событий, позволяет
сформулировать следующие конкретные
требования, которым должны удовлетворять
возможные исходы. События, являющиеся
исходами опыта, должны образовывать
полную группу событий, быть несовместными
и равновозможными.
Несколько событий в данном опыте образуют полную группу событий, если в результате опыта обязательно должно появиться хотя бы одно из них. Примеры полной группы событий: выпадение герба и выпадение надписи при бросании монеты; попадание и промах при выстреле; появление 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков при бросании игральной кости; хотя бы одно попадание и хотя бы один промах при двух выстрелах.
Несколько событий называются несовместными в данном опыте, если никакие два из них не могут появиться вместе. Примеры несовместных событий: выпадение герба или надписи при бросании монеты; выпадение и промах при выстреле; появление 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков при одном бросании игральной кости.
Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если по условию симметрии ни одно из этих событий не является объективно более возможным, чем другое. Примеры равновозможных событий: выпадение герба или надписи при бросании монеты; появление карты бубновой, червовой, трефовой, пиковой масти при вынимании карты из колоды; появление шара с № 1, 2, 3, 4 при вынимании одного шара из урны, содержащей 10 пронумерованных шаров.
Основные виды случайных событий представлены на рис. 1.1. Если события являющиеся возможными исходами некоторого опыта, удовлетворяют трем указанным выше требованиям, то они называются случаями, а об опыте говорят, что он «сводится к схеме случаев».
Для непосредственного подсчета вероятностей событий применяют классический и геометрический способы. При классическом способе вероятность интересующего нас события в данном опыте определяется по относительной доле, так называемых, благоприятных случаев в общем числе случаев. Случай называется благоприятным некоторому событию, если появление этого случая влечет за собой появление данного события.
Если
опыт сводится к схеме случаев, то
вероятность некоторого события А
при классическом способе вычисляется
как отношение числа случаев, благоприятных
событию А,
к общему числу случаев: P(A)=
(1.1)
где
P(A)
- вероятность
события А;
n
– общее
число случаев, m
– число
случаев, благоприятных событию
А.
Рис.1.1
Поскольку число благоприятных исходов всегда заключено между 0 и n (0 - для невозможных событий и n - для достоверных событий), то вероятность события, вычисленная по формуле (1.1), всегда есть рациональная правильная дробь. Поэтому 0≤Р(А)≤1. Формула (1.1) долгое время фигурировала в литературе как «классическое» определение вероятности. В настоящее время понятие вероятности связывается с эмпирическим понятием частоты.
Пример 1. В урне находится 2 белых и 3 черных шара. Из урны наугад вынимается один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.
Решение. Обозначим: А - появление белого шара, общее число случаев n = 2 + 3 = 5; число случаев, благоприятных событию А, m = 2.
Следовательно, по формуле (1.1) имеем
P(A)=
=
=
0,4
Пример 2. В ящике находится а годных и b бракованных деталей. Из ящика вынимаются наугад две детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся годными.
Решение. Обозначим: А- появление двух годных деталей.
Подсчитываем общее число возможных случаев n и число случаев m, благоприятных событию А. Число возможных случаев равно числу различных пар, которые можно образовать из всех деталей, т.е. числу сочетаний из а + b по два:
n=Ca+b2
Событию А будут благоприятны те пары деталей, которые составлены только из годных деталей. Число таких пар очевидно будет равно числу сочетаний из а по два, т.е.
M = Ca2
Следовательно,
P(A)=
=
=
,
Геометрический способ определения вероятностей событий является разновидностью классического способа и используется для вычисления вероятностей тогда, когда число возможных исходов опыта является бесконечным (множество исходов опыта образует несчетное множество).
При геометрическом способе определения вероятностей событий имеется некоторая ограниченная область (рис. 1.2), каждая точка которой соответствует возможному исходу опыта. В этой области может быть выделено множество точек, соответствующих благоприятным событию А исходам, т.е. некоторая подобласть g, благоприятная событию А. Вероятность события А при геометрическом способе определяется как отношение меры подобласти g, благоприятной событию А, к мере всей области G
P(A)=
,
где M(g), M(G) - меры, соответственно, подобласти g и области G. Значения M(g), M(G) могут являться мерами длины, угла, площади, объема, времени и т.д.
Рис. 1.2
Пример 3. Зона действия радиолокатора ограничена углом 90°. Направление появления самолета противника равновероятно. Определить вероятность того, что при появлении самолета противника он будет обнаружен радиолокатором.
Решение. Обозначим: А - обнаружение самолета радиолокатором. Область G - будет представляться углом, мери которого равна 360°, т.е. M(G) = 360°. Мера подобласти, благоприятной событию A, paвна 90°.
P(A)=
= 
= 0,25
Пример 4. На телефонной линии АВ (рис. 1.3) длиной L в точке С произошел обрыв. Положение точки С в пределах линии АВ равновероятно. Определить вероятность того, что точка С удалена от точки А на расстояние большее, чем l.
Рис. 1.3.
Решение. Обозначим: событие D - удаление точки С от точки А на расстояние большее, чем l. Событию D благоприятна часть линии длиной L - 1 . Поэтому
P(D)=
= 
=
1-
