3. Основные теоремы теории вероятностей
3 1 Сумма и произведение событий
На практике часто требуется определить вероятность сложных событий, непосредственное вычисление вероятностей для которых затруднительно, а иногда просто невозможно. В этих случаях применяются не прямые, а косвенные методы, позволяющие по известным вероятностям одних событий определять вероятности других событий. При этом пользуются основными теоремами теории вероятностей (теорема сложения вероятностей и теорема умножения вероятностей). Эти теоремы могут быть доказаны только для событий, сводящихся к схеме случаев. Для событий, не сводящихся к схеме случаев, они принимаются аксиоматически, как постулаты. Прежде, чем приступить к доказательству этих теорем, введем понятия суммы и произведения событий. Эти понятия устанавливают основные соотношения между событиями.
Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении события А или события В, или обоих этих событий вместе.
Например, если событие А - попадание в цель при первом выстреле, событие В - попадание в цель при втором выстреле, то событие С = А+ В есть попадание в цель вообще. Другой пример: если событие А - получение на экзамене оценки 5 или 4, а событие В - получение оценки 3, то событие С = А+ В есть сдача экзамена вообще.
Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них. Если события А к В несовместны, то появление обоих этих событий вместе невозможно и сумма событий А и В сводится к появлению или события А, или события В.
Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном появлении события А и события В. Например: если произведено два выстрела по мишени и событие А - попадание при первом выстреле, а событие В -попадание при втором выстреле, то С = АВ есть попадание при обоих выстрелах; если событие А - вынимание карты бубновой масти из колоды, событие В -появление туза, то событие С = АВ есть появление бубнового туза.
Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Например, по мишени производятся 3 выстрела и рассматривающиеся следующие события: А1 , - промах при первом выстреле, А2 - промах при втором выстреле, А3 - промах при третьем выстреле, то событие В = А1А2А3 состоит в том, что по мишени не будет ни одного попадания.
При решении многих практических задач приходится представлять сложные события в виде комбинации более простых событий, применяя операции сложения и умножения событий. Например, пусть производится три выстрела по мишени. Требуется определить событие В, состоящее в том, что в результате произведенных трех выстрелов будет хоть одно попадание.
Если
попадания при первом, втором и третьем
выстрелах обозначить как события
– А1,А2,А3,
а промахи обозначить соответственно
как события 
1,
2,
3,
то событие В
можно представить в виде
В = А1 1 2 + 1 А2 3 + 1 2 А3
Событие С, состоящее в том, что по мишени будет не менее двух попаданий, может быть представлено в виде:
С = А1 А2 3 + А1 2 А3 + 1 А2 А3 + А1 А2 А3
Наглядно сумму и произведение событий можно представить следующим образом (рис. 2.1).
б)
Рис.2.1