3.4. Формула полной вероятности

Следствием обеих теорем - теоремы сложения вероятностей теоремы умножения вероятностей - является формула полной вероятности.

Пусть событие А может произойти только вместе с одним из образующих полную группу несовместных событий Н₁Н₂,...,Н_n. Эти собьпия будем называть гипотезами. Докажем, что в этом случаеD

т.е. вероятность события А вычисляется как сумма произведений вероятностей каждой гипотезы на вероятность события А при этой гипотезе; это выражение носит название формулы полной вероятности (ФПВ).

Доказательство. Так как гипотезы Н₁Н₂,...,Н_n образуют полную группу событий, то событие А может появиться только в комбинации с какой-либо из этих гипотез:

А = Н₁А + Н₂А + ... + Н_nА

Гипотезы Н₁,Н₂,...,Н_n несовместны, следовательно, и комбинации H₁A,H₂A,...,H_nA также несовместны; применяя к ним теорему сложения, получим:

Р(А) = Р(Н₁А) + Р(Н₂А) + ... + Р(Н_nА) =

Применяя к событию H₁A теорему умножения вероятностей зависимых

событий, получим:

что и требовалось доказать.

При решении задач на формулу полной вероятности целесообразно использовать следующую схему:

1. Четко сформулировать событие, вероятность которого необходимо найти: событие A.

2. Определить, какие могут иметь место гипотезы: Н₁,Н₂,...,H_n.

3. Определить вероятности гипотез: Р(Н₁),Р(Н₂),... .

4.Определить условные вероятности события А при этих гипотезах: Р(А/Н₁),Р(А/Н₂),... .

5.Определить полную вероятность события А с помощью ФПВ: Р(А).

3.5. Теорема гипотез (формула Байеса)

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является так называемая теорема гипотез или формула Байеса.

Имеется полная группа несовместных гипотез Н₁,Н₂,...,Н_n. Вероятности этих гипотез до опыта известны и соответственно равны Р(Н₁),Р(Н₂),..,Р(Н_n). Произведен опыт, в результате которого появилось некоторое событие А. Требуется определить, как следует изменить вероятности гипотез в связи с появлением этого события?

В этой задаче идет речь о том, чтобы найти условную вероятность Р(Н_i/А) для каждой гипотезы.

Из теоремы умножения имеем:

Р(АН_i) = P(A) P(H_i/A) = Р(Н_i)Р(А/Н_i) (i = 1,2,...,n)

или

Р(А)Р(Н_i/А) = Р(Н_i)Р(А/Н_i) (i = 1,2,...,n)

Откуда Р(Н_iА) =

Выражая Р(А) с помощью формулы полной вероятности, получим:

Р(Н_i/А) = (i=1,2,3,…,n)

Эта формула носит название формулы Байеса или теоремы гипотез.

3.6. Теоремы о повторении опытов

На практике часто приходится встречаться с задачами, в которых один и тот же опыт или аналогичные опыты повторяются неоднократно. В результате каждого опыта может появиться или не появиться некоторое событие А. Нас интересует не результат каждого отдельного опыта, а общее число появлений событий А в результате серии испытаний. В таких задачах требуется определить вероятность любого заданного числа появлений события А в результате серии испытаний. Такие задачи решаются весьма просто в случае, когда опыты являются независимыми.

Несколько опытов называются независимыми, если вероятность того или иного исхода каждого из опытов не зависит от того, какие исходы имели другие опыты. Например, несколько последовательных бросаний монеты или игральной кости представляют независимые опыты. Несколько последовательных выниманий карты из колоды представляет независимые опыты, если вынутая карта каждый раз возвращается в колоду и колода тщательно перемешивается; в противном случае опыты зависимые. Независимые опыты могут производиться в одинаковых или различных условиях. В первом случае вероятность появления события А во всех опытах одна и та же. К этому случаю относится так называемая частная теорема. Во втором случае вероятность события меняется от опыта к опыту. Для такого случая справедлива общая теорема о повторении опытов.

Пример 14. Производится три выстрела по мишени, вероятность попадания в которую, при каждом выстреле равна р. Найти вероятность того, что при этих трех выстрелах получим ровно два попадания.

Решение. Обозначим через В₂ событие, состоящее в том, что в мишень попадет ровно два снаряда. Это событие может осуществиться тремя способами:

1. попадание при первом и втором выстреле, промах при третьем (+,+,-);

2. промах при первом выстреле, а попадание при втором и третьем (-,+,+);

3. промах при втором, попадание при первом и третьем выстрелах (+,-,+).

Следовательно, событие В₂ можно представить как сумму произведений событий: В₂ = А₁А_{2 3} + ₁А₂А₃ + А_{1 2}А₃, где А_і, или _і - попадание или промах при і -ом выстреле. Эти три варианта события В₂ несовместны, а события, входящие в произведения, независимы. Используя теоремы сложения умножения, получим:

Р(В₂) = ppq + qpp + pqp = 3p²q

Если решать аналогичную задачу для общего случая, то можно определить вероятность того, что в n независимых опытах событие А появится ровно m раз. Пусть вероятность появления события в каждом опыте р, а вероятность непоявления q=1-p. Событие В_m будет состоять из различных комбинации, в которых m раз событие A появится и n-m раз не появится:

В_m = A₁A₂...A_{m m+l}... _n + A_{l 2}A₃A₄... _n-1A_n + _{1 2}… _n-mA_n-m+l...A_n,

причем в каждое произведение событие А должно входить m раз, и событие А - n-m раз.

Число всех комбинаций такого рода равно С_n^m, т.е. числу способов, какими можно из n опытов выбрать m, в которых произошло событие А. Вероятность каждой такой комбинации, по теореме умножения вероятностей независимых событии, равна p^mq^n-m. Так как комбинации между собой несовместны, то, по теореме сложения, вероятность события В_m равна

Таким образом, если проводится n независимых опытов, в каждом из которых вероятность появления события А раина р, то вероятность того, что событие А появится ровно m раз, выразится формулой

P_m,n = C_n^mp^mq^n-m или P_m,n = C_n^mp^m(1-p)^n-m,

где С_n^m =

Полученное выражение носит название формулы Бернулли. Эта формула часто применяется при решении различных практических задач. Однако при больших значениях n пользование формулой Бернулли становится затруднительным, так как при этом требуется выполнять действия над громадными числами. Вычисления можно упростить, если воспользоваться специальными таблицами логарифмов факториалов. Но и этот путь является громоздким и, к тому же имеет недостаток: таблицы содержат приближенные значения логарифмов, и поэтому результат может значительно отличаться от истинного. Локальная теорема Лапласа и дает асимптотическую (приближенную) формулу, с помощью которой можно приближенно подсчитать вероятность того, что в n независимых испытаниях событие появится ровно m раз. Такую формулу получил Муавр для р = , а позднее Лаплас обобщил формулу Муавра для любого р, отличного от 0 и 1, т.е. для 0<р<1.

Если вероятность появления события А в каждом испытании р постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Р_m,n того, что событие А появится в n испытаниях ровно m раз приближенно равна значению функций:

y = =

где x = .

Функция ф(х) -называется функцией плотности вероятности нормированного нормального распределения. Функция ф(х) широко применяется при рассмотрении законов распределения случайных величин. Имеются таблицы, в которых помещены значения функции ф(х) = , соответствующие положительным значениям аргумента х. Для отрицательных значений х пользуются теми же таблицами, так как функция ф(х) четная, т.е. ф(-х) = ф(х).

На практике часто приходится встречаться со случаями, когда опыты проводятся не в одинаковых условиях, и вероятность события А меняется от опыта к опыту. Способ вычисления вероятности заданного числа появлений события в таких условиях дает общая теорема о повторении опытов.

Пусть проводится п опытов, в каждом из которых событие А может появиться или не появиться. Вероятность появления события А в i -ом испытании равна p_i, а вероятность не появления

q_i = 1 - p_i (i = 1,2,..,n).

Требуется найти вероятность P_m,n того, что в результате n опытов событие А появится ровно m раз. Обозначим через В_m событие, состоящее в том, что событие А появится m раз в n опытах:

B_m = A₁A₂...A_{m m+1 m+2}… _n + A_{1 2}A₃A₄… _n-1A_n + … + _{1 2}… _n-mA_n-m+1…A_n.

Р_m,n = p₁p₂ +p_mq_m+1q_m+2…q_n + p₁q₂p₃…q_n-1p_n + … + q₁q₂q₃…q_n-mp_n-m+1…p_n.

Для того чтобы составлять все возможные произведения из m букв р и n-m букв q с разными индексами, применяется следующий формальный прием. Составляется так называемая производящая функция ф_n(z) следующего вида:

ф(Z) = (q₁p₁Z)(q₂ + p₂Z)…(q_n + p_nZ)

или ф(Z)= ,

где z - произвольный параметр.

Разложение функции ф_n(z) по степеням параметра z дает в качестве коэффициентов вероятности Р_m,n. Используя понятие производящей функции, можно сформулировать общую теорему о повторении опытов в следующем виде.

Вероятность того, что событие А в п независимых опытах появится ровно т раз, равна коэффициенту при z в выражении производящей функции.

ф_п(Z) = ,

где p_i - вероятность появления события А в i -ом опыте; q_i=1-p_i.

Во многих случаях практики, кроме вероятности P_m,n, т.е. вероятности появления события ровно т раз в п опытах, приходится рассматривать вероятность появления события А не менее т раз (т.е. вероятность появления события А хотя бы т раз в п опытах). Обозначим его C_т. Тогда

C_т = В_т+В_т+1 +...+ В_п.

Если обозначить вероятность события C_т через R_m,n, т.е. P(C_т) = R_m,n, то по теореме сложения, R_m,n = Р_т,п + Р_т+1,п +...+Р_п,п или R_m,n = . Следует учитывать, что события В_т(т = 0,1..п) образуют полную группу событий, т.е. = 1. Поэтому при вычислении R_mn иногда удобнее перейти к противоположному событию. Вероятность противоположного события находится в результате суммирования вероятностей Р_i,n, для i = 0,1,...,m-1, т.е. 1 - R_m,n = .

Откуда R_m,n = 1 - .