4.2. Понятие закона распределения случайной величины.

Ряд и многоугольник распределения

Условимся обозначать случайные величины большими, преимущественно последними буквами латинского алфавита X, У, Z, а их возможные значения, соответствующими малыми буквами х, у, z. Например, X - число попаданий при трех выстрелах; возможные значения: x₁ = 0; x₂ = 1; x₃ = 2; x₄ = 3. Согласно общему определений случайной величины, в результате одного опыта, она принимает одно и только одно из своих возможных значений.

Если проводится несколько опытов, то в результате каждого опыта случайная величина X примет одно из своих возможных значений x₁,x₂,…,x_n, т,е произойдет одно из полной группы несовместных событий: X = x₁; X = x₂,…,X = x_n.

Каждое из этих событий возможно, но не достоверно. Обозначим соответствующие указанным событиям вероятности p_1,p₂,…,p_n. Так как эти события образуют полную группу несовместных событий, то

= 1,

т.е. сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна единице. Эта суммарная вероятность каким-то образом распределена между отдельными значениями случайной величины. Мы полностью опишем случайную величину, если укажем, с какой вероятностью она принимает каждое свое возможное значение. Тем самым мы зададим закон распределения случайной величины. Итак, законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Если известен закон распределения случайной величины, то она полностью охарактеризована. Про случайную величину говорят, что она подчинена данному закону распределения. Простейшей формой закона распределения дискретной случайной величины является таблица, в которой перечислены возможные ее значения и соответствующие им вероятности.

xi	x1	х2	………………	xn
pi	p1	p2	………………	А

Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины X. Чтобы придать ряду распределения более наглядный вид, прибегают к его графическому изображению. Для этого на оси абсцисс откладывают возможные значения случайной величины, а по оси ординат вероятности этих значений. Полученные точки соединяют отрезками прямой и такое изображение называется многоугольником распределения (рис. 4.1)

Рис. 4.1

4.3. Функция распределения случайной величины

Введенные ранее в рассмотрение ряд и многоугольник распределения как формы закона распределения для дискретной случайной величины неприемлемы для непрерывной случайной величины. В этом случае значения непрерывных случайных величин образуют бесконечное множество и дня них используют другую форму закона распределения - так называемую функцию распределения. Если для количественной характеристики распределения рассматривать не вероятность того, что Х = х, а вероятность того, что Х<x, где x - некоторая текущая переменная, то очевидно, что эта вероятность будет некоторой функцией х. Эта функция и называется функцией распределения случайной величины X и обозначается F(x), т.e. F(x)=P(X<x).

Итак, функцией распределения случайной величины Х называется функция аргумента х, равная вероятности того, что случайная величина примет любое значение, меньшее х. Функцию F(х) называют также интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения. Это наиболее универсальная характеристика случайной величины. Она существует для всех случайных величин: как непрерывных, так и дискретных.

Пусть теперь х - переменная, - ∞ < х < ∞. При всех х < 0 и x = 0 вероятность того, что число появлений события А будет меньше х, равна нулю (число появлений события не может быть отрицательным числом).

При 0 < х ≤ 1 вероятность того, что число появлений события A будет меньше х, представляет собой вероятность того, что событие А не появится ни разу, т.е. равна Р_0,n. При 1 < х ≤ 2.

Эта вероятность, очевидно, определится суммой Р(Х <х) = Р_0,п + Р_1,n.

Вообще при k < х ≤ к +1 вероятность того, что число появлений события А будет меньше х, будет равна сумме вероятностей

Р(Х < х) = (к = 1,2,..,п-1).

Наконец, при х > п неравенство X < х представляет собой достоверное событие, и вероятность его равна единице. Таким образом, распределения указанной случайной величины определится формулой

F(x) = P(X<x) = , при k < x ≤ k+1,

На рис. 4.3 приведен график этой функции при п = 5, р = 0.95

Рис. 4.3

Рассмотренная нами случайная величина является дискретной. Сформулируем теперь общие свойства функции распределения.

1. Как и всякая вероятность, функция распределения не может быть отрицательной и не может быть больше единицы, т.е. 0 ≤ F(x) ≤ 1.

2. Функция F(х) есть неубывающая функция своего аргумента.

Для выполнения неравенства X < х₂ необходимо и достаточно выполнение двух неравенств Х < х₁, или х₁ < Х < х₂. События Х < х₁, и x₁ ≤ Х < х₂ несовместимы. Поэтому по теореме сложения вероятностей Р(Х <х₂) = Р(Х <х₁) + Р(х₁ ≤ Х < х₂).

Отсюда Р(х₁ ≤ Х < х₂) = F(x₂)-F(x₁)

Р(х₁ < Х < х₂) есть вероятность попадания случайной величины Х на интервал (x₁,х₂) или в его левый конец. Поскольку вероятность не может быть отрицательной,

P(x₁ ≤ Х < х₂) ≥ 0 или

F(x₂) - F(x₁) ≥ 0 или

F(x₂) > F(x₁), то

полученное неравенство показывает, что F(x) - есть неубывающая функция.

1. F(+∞) = 1; F(-∞) = 0.

Возьмем неограниченно возрастающую последовательность значений х₁,х₂,..,х_п переменной х, причем = ∞.

Соответствующие значения функции распределения F(x₁),F(x₂),...,F(x_n) образуют неубывающую последовательность чисел, ограниченную сверху единицей. Из анализа известно, что такая последовательность сходится. Предел такой последовательности, очевидно, не может быть отличным от единицы, т.к. все возможные значения случайной величины X конечны.

Итак, F(∞) = = 1.

Аналогично можно показать, что

F(- ) = = 0.

Свойства функции распределения наглядно иллюстрируются с помощью геометрической интерпретации. Для этого случайная величина X рассматривается как случайная точка на оси ОХ (рис. 4.4.), которая в результате опыта может занять то или иное положение. Тогда F(x) есть вероятность того, что случайная точка X в результате опыта попадет левее точки х.

Рис. 4.4

Перемещая точку X вправо, мы видим, что F(x) в этом случае может только увеличиваться. Неограниченно перемещая точку х влево или вправо, можно видеть, что вероятность события Х<х будет, соответственно, неограниченно уменьшаться, приближаясь к нулю, как вероятность невозможного события, или увеличиваться, неограниченно приближаясь к единице, как вероятности достоверного события. График F(x) в общем случае представляет собой график неубывающей функции. При х +∞ кривая у=F(x) асимптотически приближается к прямой у=1. При х - кривая приближается к прямой y = 0.

В отдельных точках функция может иметь скачки (разрывы).

Рис 4.5

На рис. 4.5. представлен примерный характер такой кривой. Функция распределения дискретной случайной величины есть ступенчатая функция. Скачки этой функции происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины и равны вероятностям этих значений.

Рис. 4.6

Для непрерывной случайной величины у = F(x) - плавная кривая (рис. 4.6).