3.2.Теорема сложения вероятностей

Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Р(А + В)=Р(А) + Р(В)

Доказательство. Пусть возможные исходы опыта сводятся к совокупности случаев, которые для наглядности изобразим в виде n точек:

Пусть m случаев благоприятны событию А, а k - событию В. Тогда:

P(A) = , P(B) =

Так как события несовместны, то нет случаев, благоприятных одновременно и событию А, и событию В. Отсюда событию А+В благоприятны m + k случаев.

Р(А + В) = или Р(А + В) = + = Р(А) + Р(В)

Что и требовалось доказать.

Теорема сложения вероятностей применима к любому числу несовместных событий. Это может быть доказано с помощью метода полной индукции.

Таким образом: Р( ) =

Из теоремы сложения вероятностей вытекает следствие:

Если события А₁,А₂,...,А_п образуют полную группу несовместимых событий, то сумма их вероятностей равна единице:

= 1

Доказательство. Так как события А₁,А₂,А₃,...,А_n образуют полную группу, то появление хотя бы одного из них - событие достоверное. Поэтому

Р(А₁ + А₂ + А₃ + … + А_n) = 1

К несовместным событиям применима теорема сложения вероятностей:

P(A₁ + А₂ + А₃ + … + А_n) = Р(А₁) + Р(А₂) + Р(А₃) + ... + Р(А_n) =

Откуда . Два несовместимых события, образующих полную группу, называют противоположными событиями. Примерами таких событий являются: попадание и промах при выстреле; выпадение герба или надписи при бросании монеты; отказ и безотказная работа прибора и т.д.

Событие, противоположное данному событию А, принято обозначать той же буквой с чертой вверху, т.е. . Как частный случай доказанного следствия вытекает: сумма вероятностей противоположных событий равна единице

Р(А) + Р( ) =1

Если вероятность данного события обозначить через р, т.е. Р(А)=р, а вероятность противоположного ему события - через q, т.е. Р( ) = q, тогда р + q = 1

Мы доказали теорему сложения вероятностей для несовместных событий. Если события А и В - совместные, то вероятность суммы этих событии выражается формулой

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ)

В справедливости этой формулы можно убедиться, рассматривая рис 2.2,а

Для суммы трех совместных событий вероятность вычисляется по формуле

Р(А + В + С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р(АВ) – Р(АС) – Р(ВС) + Р(АВС)

Справедливость ее следует из геометрической интерпретации (рис. 2.2,б)

а б

Рис. 2.2

3.3. Теорема умножения вероятностей

Введем понятия независимых и зависимых событий. Два события А и В называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от появления или непоявления другого. В противном случае события А и В называются зависимыми.

Теорема умножения вероятностей формулируется следующим образом:

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже произошло.

Доказательство. Докажем теорему умножения для схемы случаев. Пусть возможные исходы опыта сводятся к n случаям, которые изобразим в виде n точек:

Пусть событию A благоприятны m случаев, а событию В - k случаев. Так как мы не предполагали события А и В несовместимыми, то могут существовать случаи, благоприятные и событию А и событию В одновременно. Пусть число таких случаев l. Тогда

Вычислим условную вероятность события В в предположении, что событие А имело место, т.е. Р (В/А). Если событие А произошло, то из n случаев остаются возможными только те т, которые благоприятствовали событию А. Из них l случаев благоприятны событию В, т.е.

=

Поскольку = , то окончательно получим =

Если события независимые, то их условные вероятности равны безусловным, а именно:

В этом случае теорема умножения читается так: вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Р(АВ)=Р(А)Р(В)

Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место:

P(A₁А₂…А_n) = Р(А₁)Р(А₂/A₁)Р(А₃/A₁A₂) ... Р(А_n/A₁ A₂ … A_n-1)

Вероятность произведения нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

P(A₁А₂А₃…А_n) = P(A₁)P(A₂)…P(A_n) або Р( =

Принцип целесообразности применения противоположных событий можно сформулировать следующим образом:

Если противоположное событие распадается на меньшее число вариантов, чем прямое событие, то имеет смысл при вычислении вероятностей переходить к противоположному событию.