Контрольная задача 4. Теория массового обслуживания.

Фирма по ремонту различной аппаратуры имеет n опытных мастеров. В среднем в течение рабочего дня от населения поступает в ремонт λ радиоаппаратов. Общее число радиоаппаратов, находящихся в эксплуатации у населения, очень велико, и они независимо друг от друга в различное время выходят из строя. Поэтому есть все основания полагать, что поток заявок на ремонт аппаратуры является случайным, пуассоновским. В свою очередь, каждый аппарат в зависимости от характера неисправности также требует различного (случайного) времени на ремонт. Время на проведение ремонта зависит во многом от серьезности полученного повреждения, квалификации мастера и множества других причин. Пусть статистика показала, что в среднем в течение рабочего дня каждый из мастеров успевает отремонтировать µ радиоаппаратов.

Требуется оценить характеристики работы фирмы по ремонту радиоаппаратуры.

В таблице приведены исходные данные для решения задачи по вариантам.

ВАРИАНТЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
Варианты	n			λ			µ
1	5			24			6
2	5			20			5
3	4			15			5
4	5			16			4
5	6			25			5
6	6			30			6
7	5			24			6
8	6			30			6
9	6			25			5
10	6			35			7

Методические указания по решению задач к задаче 2. Межотраслевой баланс.

Два цеха предприятия выпускают продукцию двух видов: первый цех – продукцию 1-го вида, второй цех – продукцию 2-го вида. Часть выпускаемой продукции идет на внутреннее потребление, остальная является конечным про­дуктом.

Требуется выявить распределение между цехами продукции, идущей на внутреннее потребление (Х_ij), и общее (валовые) объемы выпускаемой про­дукции (Х_i), если заданы параметры прямых затрат (А) и конечного продукта (Y_j).

Решение.

1. Элементы матриц прямых затрат А представляют собой коэффициенты прямых затрат продукции i-го вида на производство единицы продукции j-го вида.

1/4 1/5

А =

1/10 1/4

2. Элементы вектор – столбца Y определяют величину конечного продукта, идущего на внешнюю реализацию

100 Y₁

Y = =

160 Y₂

3. Для определения валового (общего) выпуска продукции 1-го и 2-го видов воспользуемся формулой Х * (Е – А)^-1 * Y, где Е – единичная матрица.

1 – 1/4 0 - 1/5 3/4 -1/5

(Е –А) = =

0 – 1/10 1 – 1/4 -1/10 3/4

4. Определитель этой матрицы равен:

= 3/4 * 3/4 - (-1/10) * (-1/5) = 9/16 – 1/50 = (225 – 8) / 400 = 217 / 400.

4. Матрица алгебраических дополнений

d₁₁ = (-1)¹⁺¹ * 3/4 = 3/4 d₁₂ = (-1)¹⁺² * (-1/5) = 1/5

d₂₁ = (-1)²⁺¹ * (-1/10) = 1/10 d₂₂ = (-1)²⁺² * 3/4 = 3/4

3/4 1/5

D =

1/10 3/4

6. Транспортируем матрицу D и, умножая на 1/ , получаем матрицу полных затрат В.

3/4 1/5 (400*3) / (217*4) (400*1) / (217*5)

В = (400/217)* = =

1/10 3/4 (400*1) / (217*10) (400*3) / (217*4)

300 / 217 80 / 217

=

40 / 217 300 / 217

7. Х = В * Y

300/217 80/217 100 [(300*100)/217]+[(80*160)/217]

Х = * = =

40/217 300/217 160 [(40*100)/217]+[(300*160)/217]

(30000 / 217) + (12800 / 217) 42800 / 217 197

= = =

(4000 / 217) + (48000 / 217) 52000 / 217 240

Т.о. валовой выпуск продукции первого цеха составит 197, а второго цеха – 240.

8. Распределение продукции между цехами на внутреннее потребление опре­деляется по формуле Х_ij = А_ij * Х _i

Х₁₁ = 1/4 * 197 = 49 Х₁₂ = 1/5 * 240 = 48

Х₂₁ = 1/10 * 197 = 20 Х₂₂ = 1/4 * 240 = 60

9. В итоге плановая модель (матрица) выпуска продукции (валового и конеч­ного продукта) с учетом внутреннего потребления будет иметь вид.

Продукция	Внутреннее потребление		Конечный продукт		Валовой выпуск
Цех	1	2
1	49	48		100		197
2	20	60		160		240