К задаче 4. Теория массового обслуживания.

Фирма по ремонту различной аппаратуры имеет n=6 опытных мастеров. В среднем в течение рабочего дня от населения поступает в ремонт л=15 радиоаппаратов. Общее число радиоаппаратов, находящихся в эксплуатации у населения, очень велико, и они независимо друг от друга в различное время выходят из строя. Поэтому есть все основания полагать, что поток заявок на ремонт аппаратуры является случайным, пуассоновским. В свою очередь, каждый аппарат в зависимости от характера неисправности также требует различного (случайного) времени на ремонт. Время на проведение ремонта зависит во многом от серьезности полученного повреждения, квалификации мастера и множества других причин. Пусть статистика показала, что в среднем в течение рабочего дня каждый из мастеров успевает отремонтировать м =3 радиоаппарата.

Требуется оценить характеристики работы фирмы по ремонту радиоаппаратуры.

Решение.

1. Определим параметр системы

а = л * 1/м = 15 * 1/3 = 5

Так как а < n (5 < 6), то очередь не может расти безгранично (фирма справ­ляется с входящим потоком требований на ремонт аппаратуры).

2. Вероятность того, что все мастера свободны от ремонта аппаратуры равна

Р_о = [ а^к / к! + аⁿ / n! (1 – а/n)]^-1

Р_о= 1 / [5⁰/0! + 5¹/1! + 5²/2! + 5³/3! + 5⁴/4! + 5⁵/5! + 5⁶/6!(1-5/6)] =

= 1 / [1 + 5 + 25/2 + 125/6 + 625/24 + 3125/120 + 15625/(720/6)]=

= 1 / [1 + 5 + 12,5 + 20,8 + 26 + 26 + 130,2] = 1 / 221,5 = 0,005

3. Вероятность того, что все мастера заняты ремонтом аппаратуры равна

Р_n = [( аⁿ / n! (1 – а/n)] * Р_о; а/n < 1.

Р_n = [5⁶ / 6! (1-5/6)]* 0,005 = [15625/(720/6)] * 0,005 = 0,651

Т.е. 65,1% времени мастера полностью загружены работой.

4. Среднее время обслуживания каждым каналом одного аппарата, при условии 7-ми час. рабочего дня.

t_обс. = 1/м = 7/3 = 2,3 ч

5. В среднем время ожидания каждым неисправным аппаратом начала ремонта равно

t_ож. = Р_n/[м * (n – а)] = 7 * 0,651 / 3 * (6 – 5) = 1,52 ч

6. Очень важная характеристика средняя длина очереди, которая определяет необходимое место для хранения аппаратуры, требующей ремонта

М_оч. = (а * Р_n) /[n * (1 – а/n)] = (5 * 0,651) / [6 * (1 – 5/6)] = 3,3 аппарата.

7. Определим среднее число мастеров, свободных от работы

N_о = [(n – к) / к!] * а^к * Р_о = 0,005 * [[(6 - 0) / 0!] * 5⁰ + [(6 - 1) / 1!] * 5¹ + [(6 - 2) / 2!] * 5² + [(6 - 3) / 3!] * 5³ + [(6 - 4) / 4!] * 5⁴ + [(6 - 5) / 5!] * 5^5] = 0,005 * [6 + 25 + 50 + 62,5 + 52,1 + 26] = 0,005 * 221,6 = 1,1 мастера.

8. Коэффициент простоя каналов

К_пр = N_о / n = 1,1 / 6 = 0,18.

9. Среднее число занятых обслуживанием каналов

N_з = n - N_о = 6 - 1,1 = 4,9.

10.Коэффициент загрузки каналов

К_загр = N_з / n = 4,9 / 6 = 0,82.

Список рекомендуемой литературы:

Основная:

1. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем. Учебное пособие. – М.,Финансы и статистика, 2005

2. Глухов В.В.Математические методы и модели для менеджмента: учебное пособие. – СПБ;М.;Краснодар:Лань,2005

3. Грицюк С.Н.Математические методы и модели в экономике: учебник.- Ростов н/Д:Феникс, 2007

4. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: Учебник. – М.,Изд-во «Дело и сервис», 2004.

5. Исследование операций в экономике. Учебное пособие для вузов/Под ред. проф.Н.Ш.Кремера. – М., ЮНИТИ, 2005.

6. Кузнецов Б.Т. Математические методы и модели исследования операций: учебное пособие. М.:ЮНИТИ – ДАНА, 2005

7. Кундышева Е.С. Математическое моделирование в экономике: Учебное пособие. – М., Издательско-торговая корпорация «Дашков и Ко», 2004.

8. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учеб.- М.:Дело, 2001

Список рекомендуемой литературы:

Основная:

1. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем. Учебное пособие. – М.,Финансы и статистика, 2005

2. Глухов В.В.Математические методы и модели для менеджмента: учебное пособие. – СПБ;М.;Краснодар:Лань,2005

3. Грицюк С.Н.Математические методы и модели в экономике: учебник.- Ростов н/Д:Феникс, 2007

4. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: Учебник. – М.,Изд-во «Дело и сервис», 2004.

5. Исследование операций в экономике. Учебное пособие для вузов/Под ред. проф.Н.Ш.Кремера. – М., ЮНИТИ, 2005.

6. Кузнецов Б.Т. Математические методы и модели исследования операций: учебное пособие. М.:ЮНИТИ – ДАНА, 2005

7. Кундышева Е.С. Математическое моделирование в экономике: Учебное пособие. – М., Издательско-торговая корпорация «Дашков и Ко», 2004.

8. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учеб.- М.:Дело, 2001

9. Орехов А.М. Методы экономических исследований: учебное пособие. – М:ИНФРА – М, 2006

10. Орлова А.М. Экономико-математическое моделирование: практическое пособие по решению задач – М.: Вузовский учебник, 2007

11. Просветов Г.И.Математические методы в экономике: учебно-методическое пособие. М, Изд-во РДЛ, 2007

12. Фомин Г.П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности: Учебник. - М.: Финансы и статистика, 2005.

13. Экономико-математическое моделирование: учебник / ред.И.Н. Дрогобыцкий. М.:Экзамен, 2006

14. Экономико-математические методы и модели:учебное пособие / под ред. С.И.Макарова. – М.:КНОРУС, 2007

Дополнительная:

15. Абланская Л.В. и др. Экономико-математическое моделирование: учебник. – М.,Экзамен, 2006

16. Карлсберг Конрад. Бизнес – анализ с помощью Microsoft Excel. М.,Издательский дом «Вильямс», Спб; Киев, 2004.

17. Математическое моделирование экономических процессов / Под ред. М.В.Грачевой и др. – М., ЮНИТИ, 2005

18. Экономико-математические методы и прикладные модели / Под ред. В.В.Федосеева. М., 2005

19. Орехов А.М. Методы экономических исследований: учебное пособие. – М:ИНФРА – М, 2006

20. Орлова А.М. Экономико-математическое моделирование: практическое пособие по решению задач – М.: Вузовский учебник, 2007

21. Просветов Г.И.Математические методы в экономике: учебно-методическое пособие. М, Изд-во РДЛ, 2007

22. Фомин Г.П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности: Учебник. - М.: Финансы и статистика, 2005.

23. Экономико-математическое моделирование: учебник / ред.И.Н. Дрогобыцкий. М.:Экзамен, 2006

24. Экономико-математические методы и модели:учебное пособие / под ред. С.И.Макарова. – М.:КНОРУС, 2007

Дополнительная:

25. Абланская Л.В. и др. Экономико-математическое моделирование: учебник. – М.,Экзамен, 2006

26. Карлсберг Конрад. Бизнес – анализ с помощью Microsoft Excel. М.,Издательский дом «Вильямс», Спб; Киев, 2004.

27. Математическое моделирование экономических процессов / Под ред. М.В.Грачевой и др. – М., ЮНИТИ, 2005